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2022四川省数学高联竞赛试题答案

题目列表：

一、选择题

1.一些同学中,爱好足球的比例是3:4,爱好篮球的比例是4:5,既爱好足

球又爱好篮球的比例是2:5,则既不爱好足球也不爱好篮球的学生比例

是()

A、8:21

B、13:35

C、16:35

D、17:35

答案：D

2.若$a$,$b$都是整数,$a\divb=2\dfrac{2}{3}$,则

$a+3b=$($\qquad$)

A、$8\dfrac{2}{3}$

B、$8\dfrac{1}{3}$

C、$9\dfrac{2}{3}$

D、$9\dfrac{1}{3}$

答案：C

3.已知向量$\veca=-2\veci-\vecj+4\veck,\vecb=3\veci+2\vecj+\veck$，

则$\veca-\vecb=\Box$

A、$-5\veci-3\vecj+3\veck$

B、$-5\veci-\vecj+5\veck$

C、$5\veci+\vecj-5\veck$

D、$5\veci+3\vecj-3\veck$

答案：B

4.记$x$为让$(x+2)\times(2-x)$取得最小值时x的值，则$x$等于()

A、0

B、1

C、2

D、-2

答案：C

5.若$x+y=2$,则$x^{2}+y^{2}$的最小值为()

A、0

B、$\dfrac{3}{4}$

C、1

D、4

答案：\dfrac{3}{2}

二、填空题

6.已知二次函数$y=2x^{2}+3ax-a^{2}+1$的图象经过点$(1,1)$,则当

$a=$_________时,函数图象与$x$轴相切．

答案：$\dfrac{1}{2}$

7.已知$\triangleABC$，$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AC}$，

$BC=c$，$CA=b$，$\angleBAC=120^{\circ}$，则$AB$的长为

_________。

答案：$3b$

8.若点$P(x,y)$到$x$轴的距离为2，到$y$轴的距离为1，则点

$P$的坐标为$(\Box,\Box).$

答案：$(\pm2,\pm1)$

9.设$\tanA=2$，$\tanB=5$，并且$A+B=90^\circ$，则$\dfrac{\sin

A}{\cos^{2}B}+\dfrac{\cosA}{\sin^{2}B}=$_________。

答案：$78$

三、解答题

10.已知$f(x)=\sqrt{1-\cosx}$，$g(x)=\sqrt{\sinx}$。求

证:$f(x)+g(x)\leq\sqrt{2}$。

解：因为当$x\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$时,有$

\sqrt{2}-\left(\sqrt{1-\cos{x}}+\sqrt{\sin{x}}\right)

=\dfrac{(\sqrt{2}-1)(2\sin^{2}{x}-\cos^{2}{x}-1)}{\sqrt{1-

\cos{x}}+\sqrt{\sin{x}}+\sqrt{2}}\geq0,\\

$

所以

$1-\cos{x}+\sin{x}\leq2$

11.已知向量$\vec{a}=(2,3,-1)$，$\vec{b}=(1,1,1)$，求向量

$\vec{c}=2\vec{a}-3\vec{b}$的模长及其与$\vec{b}$的夹角。

解：

\right\Vert=\left\Vert(1,3,-5)\right\Vert=\sqrt{35}$，

$\cos\theta=\dfrac{(2,3,-1)\cdot(1,1,1)}{\left\Vert(2,3,-1)

\right\Vert\cdot\left\Vert(1,1,1)\right\Vert}=\dfrac{4}{3\sqrt{14}}$

$\therefore\cos\theta=\dfrac{4\sqrt{14}}{14},$$\theta\approx26.6^{\circ}$。