微积分 第3版 第2章 极限与连续.ppt

二、证明证因由比较定理,三、求下列极限:四、已知极限存在,求常数a.解因因由于极限存在,所以左、右极限相等,故所以所以五、求出曲线的水平与铅直渐近线.解的一条水平渐近线.又因所以,的铅直渐近线.的一条水平渐近线.证(舍负)的极限存在,并求其极限值.六、证明数列于是即所以间断点分为两类:第二类间断点:第一类间断点:及均存在,及中至少一个不存在.若称为可去间断点.若称为跳跃间断点.若其中有一个为称为无穷间断点.第一章习题课(连续部分)例1讨论的连续性.解显然,解即求常数a,b.例2设为连续函数,即得证讨论:令例3设由零点定理知,综上所述:必存在一点若则及可去间断点试确定常数a及b.为无穷间断点,所以为可去间断点,存在例4设函数有无穷间断点解故x=–1为第一类可去间断点;x=1为第二类无穷间断点;x=0为第一类跳跃间断点.例5求的间断点,并判别其类型.解是间断点,例6设函数内有定义,对任意实数证可得x,y满足关系式处处连续.由点连续.试证:可得所以,一、证明奇次多项式至少存在一个实根.二、设函数在区间(a,b)内连续,且证明函数在区间(a,b)内有零点.练习题解三、求的间断点,并判断其类型.易判断,x=0为第一类跳跃间断点.练习设函数证由零点定理,使得即定理2.17(介值定理)设函数在闭区间上连续,若则至少有一点使得证设由零点定理,故推论2.2闭区间上连续的函数,必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.证则如果例2.29设在上连续，且证明：至少存在一点，使得不妨设则结论成立.如果则由介值定理,至少存在一点,使得得证.例如,当不可比.下面我们对无穷小趋于零的速度进行比较.观察各极限极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.不存在,2.6无穷小的比较定义2.8(无穷小的阶的比较)记作记作等价无穷小;是同阶无穷小;的高阶无穷小;例2.30证明当证(1)因(2)因(3)因例2.31常用等价无穷小:证明当证(1)因(2)令故(3)由(2)有再由(1)有证因定理2.18(无穷小的等价代换)意义:利用等价无穷小代换,可以简化极限的计算.所以故解注意:无穷小的等价代换适用于乘、除情形,代数和的情形需慎用.例2.32用无穷小的等价代换求解解错例2.33求性质:一个无穷小例如,当特别地,如果当时,是无穷小,习惯将同幂函数进行比较.例2.34当时,试确定下列无穷小的阶数:解(1)注:如果用表示任意一种极限,包括六种情况下函数的极限和数列极限,则可以用代替定义2.8和定理2.18中的即无穷小的等价代换仍然成立.解分子、分母同乘以因子则练习1.求解故2.求1.三个基本无穷小第一章习题课(极限部分)一、重点内容2.关于无穷小的比较定理且在点a的某个空心邻域内如果成立，其中C为常数.3.设q为常数,则4.常用等价无穷小证因二、典型例题例1证明数列