八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球(教师版)复习过程.pdfVIP

八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球（教师

版）复习过程

八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球

一、有关定义

1．球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）

叫球面，简称球.

2．外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，

则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接

球.

3．内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，

则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切

球.

二、外接球的有关知识与方法

1．性质：

性质1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半

径相等；

性质2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截

球所得圆是大圆；

性质3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：

圆的垂径定理）；

性质4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；

性质5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线

相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆

心）.

初图1

初图2

2．结论：

结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的

体对角线的中点是球心；

结论2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，

则所得多面体与原长方体的外接球相同；结论3：长方体的外接球直径

就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换

言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的

外接圆是大圆；

结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处；

结论5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外

接圆直径）是球的直径；

结论6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；

结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；

结论8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外

接圆直径是球的直径；

结论9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接

球.

3．终极利器：勾股定理、正定理及余弦定理（解三角形求线段长

度）；

三、内切球的有关知识与方法

1．若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直.（与直线切

圆的结论有一致性）.

2．内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体

各顶点的距离均相等.（类比：与多边形的内切圆）.

3．正多面体的内切球和外接球的球心重合.

4．正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合.

5．基本方法：

（1）构造三角形利用相似比和勾股定理；

（2）体积分割是求内切球半径的通用做法（等体积法）.

四、与台体相关的，此略.

五、八大模型

第一讲柱体背景的模型

类型一、墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出

球半径）

图1-1

图1-2

图1-3

图1-4

方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2

2

2

2

)2(cbaR++=，即2222cbaR++=，求出R例1（1）已知

各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的

表面积是（C）A．π16B．π20C．π24D．π32解：162==h

aV，2=a

222=++=++=haaR，π24=S，选C；

（2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接

球的表面积是π9解：93

3342

=++=R，ππ942

==RS；

（3）在正三棱锥SABC-中，MN、分别是棱SCBC、的中点，

且MNAM⊥,若侧棱SA=,则

正三棱锥ABCS-外接球的表面积是.π36解：引理：正三棱锥的

对棱互相垂直.证明