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山东省实验中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知空间向量，若共面，则实数（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．“”是“直线与直线平行”的（????）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．给出下列说法，其中不正确的是（????）

A．若，则，与空间中其它任何向量都不能构成空间的一个基底向量

B．若，则点是线段的中点

C．若，则A，，，四点共面

D．若平面，的法向量分别为，，且，则

4．若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有（????）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

5．实数满足，则的最小值为（????）

A．3 B．7 C． D．

6．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

7．在三棱锥中，为的重心，，若交平面于点，且，则的最小值为（????）

A． B． C．1 D．

8．已知椭圆的左、右焦点分别为，.点在上且位于第一象限，圆与线段的延长线，线段以及轴均相切，的内切圆为圆.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为4，则的离心率为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．下列说法正确的是（????）

A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大

B．圆与直线必有两个交点

C．在轴、轴上的截距分别为，的直线方程为

D．设，，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是

10．已知椭圆的离心率为，长轴长为6，，分别是椭圆的左、右焦点，是一个定点，是椭圆上的动点，则下列说法正确的是（????）

A．焦距为2 B．椭圆的标准方程为

C． D．的最大值为

11．立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数24，棱长为的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有（????）

??

A．平面

B．，，，四点共面

C．点到平面的距离为

D．若为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值范围为

三、填空题

12．已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围为.

13．如图，已知点，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是.

??

14．杭州第19届亚运会的主会场——杭州奥体中心体育场，又称“大莲花”（如图1所示）．会场造型取意于杭州丝绸纹理与纺织体系，建筑体态源于钱塘江水的动态，其简笔画如图2所示．一同学初学简笔画，先画了一个椭圆与圆弧的线稿，如图3所示．若椭圆的方程为，下顶点为为坐标原点，为圆上任意一点，满足，则点的坐标为；若为椭圆上一动点，当取最大值时，点恰好有两个，则的取值范围为．

四、解答题

15．已知两直线和的交点为．

(1)直线过点且与直线平行，求直线的一般式方程；

(2)圆过点且与相切于点，求圆的一般方程．

16．已知椭圆的离心率为，且过点.

(1)求椭圆的方程；

(2)若斜率为的直线与椭圆交于，两点，且点在第一象限，点分别为椭圆的右顶点和上顶点，求四边形面积的最大值.

17．在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将△沿折起到△位置，使得（如图2）.

(1)求证：平面平面；

(2)线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

18．已知直线，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方.

(1)求圆C的方程；

(2)直线与圆C交于不同的M，N两点，且，求直线的斜率；

(3)过点的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在y轴正半轴上是否存在定点N，使得y轴平分？若存在，请求出点N的坐标：若不存在，请说明理由.

19．已知点是平面内不同的两点，若点满足，且，则点的轨迹是以有序点对为“稳点”的-阿波罗尼斯圆.若点满足，则点的轨迹是以为“稳点”的-卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，.

(1)若以为“稳点”的-阿波罗尼斯圆的方程为，求的值；

(2)在（1）的条件下，若点在以为“稳点”的5-卡西尼卵形线上，求（为原点）的取值范围；

(3)卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若，求证：不存在实数，使得以为“稳点”的—阿