高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解21---平面向量“奔驰定理”.pdfVIP

高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解

第21讲平面向量“奔驰定理”

平面向量是高考的必考考点，它可以和函数、三角、数列、几何等知识相结合考查．平面向量

的“奔驰定理”，对于解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，更

加有效快捷，有着决定性的基石作用．

考点一平面向量“奔驰定理”

→→→

定理：如图，已知P为△ABC内一点，则有SP·A＋SPB·＋SPC·＝0.

△PBC△PAC△PAB

→→→S4

例1已知O是△ABC内部一点，满足OA＋2OB＋mOC＝0，且△AOB＝，则实数m等于()

S7

△ABC

A．2B．3C．4D．5

答案C

→→→

解析由奔驰定理得SOA·＋SOB·＋SOC·＝0，

△BOC△AOC△AOB

→→→

又OA＋2OB＋mOC＝0，

∴S∶S∶S＝1∶2∶m.

△BOC△AOC△AOB

Sm4

∴△AOB＝＝，

S1＋2＋m7

△ABC

解得m＝4.

易错提醒利用平面向量“奔驰定理”解题时，要严格按照定理的格式，注意定理中的点P为△ABC

内一点；定理中等式左边三个向量的系数不是三角形的面积，而是面积之比．

→1→1→S

跟踪演练1设点O在△ABC内部，且AO＝AB＋AC，则△OAB＝________.

34S

△OBC

1/11

3

答案

5

→1→1→

解析由AO＝AB＋AC，

34

→→→→→

得－12OA＝4(OB－OA)＋3(OC－OA)，

→→→

整理得5OA＋4OB＋3OC＝0，

S3

所以△OAB＝.

S5

△OBC

考点二“奔驰定理”和三角形的“四心”(四心在三角形内部)

(1)O是△ABC的重心

⇔S∶S∶S＝1∶1∶1

△BOC△AOC△AOB

→→→

⇔OA＋OB＋OC＝0.

(2)O是△ABC的内心

⇔S∶S∶S＝a∶b∶c

△BOC△AOC△AOB

→→→

⇔aOA＋bOB＋cOC＝0.

(3)O是△ABC的外心

⇔S∶S∶S＝sin2A∶sin2B∶sin2C

△BOC△AOC△AOB

→→→

⇔sin2AOA·＋sin2BOB·＋sin