近世代数基础课后答案(张禾瑞).pdf

第一章基本概念

§1.集合

1.BuN,但B不是”的真子集，这个情况什么时候才

能出现？

解由题设以及真子集的定义得，乂的每一个元都属

于3,因此力u8.于是由

BuAAczB

得4=5•所以上述情况在N=B时才能出现.

2.假定/u£4八8=?4UB=?

解(i)由于Nu8,所以/的每一个元都属于8,

即X的每一个元都是工和8的共同元，因而由交集的定义得

/u4n区

但显然有

AClBa:A

所以

A[\B-A

(H)由并集的定义，ZUB的每一元素都属于A和

3之一i但幺u所以ZU4的每一元素都属于3

另一方面BU4U所以NU8=8.

§2.映射

1.A={1,2,…，100)•找一个4x2到的映

射.

解用(。，b)表示ZxZ的任意元素，这里。和b都

属于工・按照定义做一个满足要求的映射即可，例如

Pt(a,b)a

就是这样的一个，因为⑦桥Nx/的任何元素(Q,与规定

了一个唯一的象。，而。A

读者应该自己再找几个Zx/到工的映射•.

2.在你为习1所找到的映射之下，是不是人的每一

个元都是NxZ的一个元的象？

熙在上面给出的映射G之下，/的每一个元素•都是

工xN的一个元的象，因为(a,b)中的a可以是/的任一

元素.

你自己找到的映射的情况如何？有没有出现力的元素不

都是象的情况？假如没有，找一个这样的映射.

§3・代数运算

1.A={所有不等于零的偶数上找一个集合D,使得

普通除法是NX/到0的代数运算.是不是找得到一个以上

的这样的D?

解一个不等于零的偶数除一个不警于零的偶数所得结

果总是一个不等于零的有理数.

2

所以取

D=｛所有不等于零的有理数｝

普通除去就是一个么xZ到0的代数运算.

可以找得到一个以上的满足要求的读者可以自己找

几个・

2.b.c》.规定N的两个不同的代数运算.

解《1》我们用运算表来绐出力的一个代数运算：。

:abc

aaaa

baaa

caaa

按照这个表，通过。，对于2的任何两个元素都可以得出一

个唯一确定的结果。来，而。仍属于所以。是4的一个

代数运算.

这个代数运算也可以用以下方式来加以描述

o：(x,)a-xoy对一切yEA

(ii)同现

o：(r,y)x=xoy对一切x,yCZ

也是X的一个代数运算.读者可用列表的方法来给出这个代

数运算.

读者还应自己给出几个4的代数运算.

§4.结合律

1.A=!所有不等于零的实数｝.。是普通除法:

3

aob=1

这个代数运算适合不适合结合律？

解这个代数运算。不适合结合律.例如,