2025年高中数学人教A版选择性必修1同步复习资料 专题3.11 抛物线的标准方程和性质-重难点题型精讲（教师版）.pdfVIP

专题3.11抛物线的标准方程和性质-重难点题型精讲

1．抛物线的定义

(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫

作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线.

(2)集合语言表示

设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P{M||MF|d}.

2．抛物线的标准方程

抛物线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：

3．抛物线的几何性质

抛物线的简单几何性质：

4．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异

抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异：

①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；

②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点；

③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；

④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是0e1,双曲线的离心率范围是e1，抛物线的离心率是

e1；

⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；

⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线.

5．与抛物线有关的最值问题

求解此类问题一般有以下两种思路：

(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是

几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.

(2)代数法：由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解，如利用二次函数在闭区间上

最值的求法，利用函数的单调性等，亦可用均值不等式求解.

【题型1动点的轨迹问题】

【方法点拨】

根据抛物线的定义，抛物线是平面内与一个定点F，和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹，

因此只要动点满足抛物线的定义，就可以选择利用定义法求出其轨迹方程.

【例1】（2022·上海市高三开学考试）在平面上，到点1,0的距离等于到直线+2=3的距离的动点

的轨迹是（）

A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线

【解题思路】根据抛物线的定义判断即可.

【解答过程】解：因为点1,0不在直线+2=3上，

1,0+2=31,0

则到点的距离等于到直线的距离的动点的轨迹是以为焦点，

直线+2=3为准线的抛物线；

故选：D.

【变式1-1】（2022·全国·高二课时练习）已知点2,2)，直线−−1=0，若动点距离等于，

则点的轨迹是（）

A．椭圆B．双曲线

C．抛物线D．直线

【解题思路】由抛物线的定义求解即可.

【解答过程】由抛物线的定义（平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线）可知，点

的轨迹是抛物线.

故选：C.

【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，动点到直线=1的距离比它到

定点−2,0的距离小1，则P的轨迹方程为（）

22

A．=2B．=4

22

C．=−4D．=−8

【解题思路】根据抛物线的定义判断轨迹，再由抛物线焦点、准线得到方程即可.

【解答过程】由题意知动点到直线=2的距离与定点−2,0的距离相等，

由抛物线的定义知，P的轨迹是以−2,0为焦点，=2为准线的抛物线，

2

所以=4，轨迹方程为=−8

故选：D.

【变式1-3】（2021·山东省滕州市高二阶段练习）若点P到点(0,2)的距离比它到直线=−1的距离大1，

则点P的轨迹方程为（）

2222

A．=4B．=4C．=8D．=