2025年高中数学人教A版选择性必修1同步复习资料 专题3.5 直线与椭圆的位置关系-重难点题型精讲（学生版）.pdfVIP

专题3.5直线与椭圆的位置关系-重难点题型精讲

1．点与椭圆的位置关系

(1)点与椭圆的位置关系：

(2)对于点与椭圆的位置关系，有如下结论：

点在椭圆外+1;

点在椭圆内+1;

点在椭圆上+1.

2．直线与椭圆的位置关系

(1)直线与椭圆的三种位置关系

类比直线与圆的位置关系，直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系，如图所示.

(2)利用方程讨论直线与椭圆的位置关系：

0直线与椭圆相交有两个公共点;

0直线与椭圆相切有且只有一个公共点;

0直线与椭圆相离无公共点.

3．弦长问题

(1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦.

(2)弦长公式：设直线l:ykx+m交椭圆+1(ab0)于，两点，

则或.

4．“中点弦问题”

(1)解决椭圆中点弦问题的两种方法

①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根

与系数的关系以及中点坐标公式解决.

②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中

点坐标和斜率的关系.

设，，代入椭圆方程+1(ab0)，

得，

①-②可得+0，

设线段AB的中点为，当时，有+0.

因为为弦AB的中点，从而转化为中点与直线AB的斜率之间的关系，这就是处理弦

中点轨迹问题的常用方法.

(2)弦的中点与直线的斜率的关系

线段AB是椭圆+1(ab0)的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐标

为，则弦AB所在直线的斜率为，即.

5．椭圆中的最值问题

求解此类问题一般有以下两种思路：

(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是

几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.

(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示

为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以

及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.

【题型1判断直线与椭圆的位置关系】

【方法点拨】

结合具体条件，根据直线与椭圆的三种位置关系，进行判断，即可得解.

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【例1】1．（2022·全国·高二课时练习）已知2=+则直线++=0与椭圆+=1的位置

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关系是（）

A．相交B．相切C．相离D．以上三种情况均有可能

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