第06讲 5.4.2正弦函数、余弦函数的性质（原卷版）.docx

第06讲5.4.2正弦函数、余弦函数的性质

课程标准

学习目标

①结合正弦函数、余弦函数的图象掌握

正、余弦函数的性质。

②会求正、余弦函数的周期，单调区间、对称点、对称轴及最值，及结合函数的图象会求函数的解析式，并能求出相关的基本量。

会求正、余弦函数的最小正周期，单调区间，对称点，对称区间，会求两类函数的最值.

知识点01：函数的周期性

1.周期函数的定义

一般地,设函数的定义域为,如果存在一个非零常数,使得对每一个,都有,且,那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期.

2.最小正周期的定义

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期.?

【即学即练1】（2023春·天津红桥·高一统考期末）函数的最小正周期为，则.

【答案】

【详解】的最小正周期，.

故答案为：.

知识点02：正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性

函数

奇偶性

奇函数

偶函数

当时，为奇函数；

当时，为偶函数；

当时，为奇函数；

当时，为偶函数；

【即学即练2】（2023秋·高一课时练习）已知函数的最小正周期为，则.

【答案】12

【详解】由于，依题意可知.

故答案为：

知识点03：正弦、余弦型函数的常用周期

函数

最小正周期

或（）

或

或（）

无周期

【即学即练3】（2023秋·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）函数的最小正周期为.

【答案】/

【详解】由诱导公式可知，，

当时，与不恒相等，故的最小正周期为，

故答案为：

知识点04：正弦函数、余弦函数的图象和性质

函数

图象

定义域

定义域

值域

周期性

奇偶性

奇函数

偶函数

单调性

在每一个闭区间()上都单调递增;在每一个闭区间(上都单调递减

在每一个闭区间

()上都单调递增;在每一个闭区间()上都单调递减

最值

当()时，;

当()时，;

当()时，;

当()时，;

图象的对称性

对称中心为(),

对称轴为直线()

对称中心为(),

对称轴为直线()

【即学即练4】（2023·全国·高三专题练习）y＝cos的单调递减区间为.

【答案】

【详解】因为，

所以由得，，，

即所求单调递减区间为.

故答案为：.

题型01三角函数的周期问题及简单应用

【典例1】（2023秋·高一课时练习）下列函数，最小正周期为的是（????）

A． B．

C． D．

【典例2】（多选）（2023秋·河北秦皇岛·高二校考开学考试）下列函数中是奇函数，且最小正周期是的函数是（????）

A． B．

C． D．

【典例3】（2023秋·高一课时练习）求下列函数的最小正周期．

(1)；

(2).

【变式1】（2023·全国·高三专题练习）下列函数中，最小正周期为π的函数是（????）

A． B．

C． D．

【变式2】（多选）（2023·全国·高一假期作业）下列函数中，是周期函数的是（）

A． B．

C． D．

【变式3】（2023·全国·高一课堂例题）求下列函数的最小正周期．

(1)；

(2)．

题型02三角函数的奇偶性及其应用

【典例1】（2023春·新疆塔城·高一塔城地区第一高级中学校考阶段练习）已知函数，则是为奇函数的（????）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【典例2】（多选）（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知函数为偶函数，则的取值可以为（????）

A． B． C． D．

【典例3】（2023秋·河北张家口·高三统考开学考试）已知函数，是奇函数，则的值为．

【典例4】（2023·贵州·校联考模拟预测）若函数为偶函数，则的最小正值为.

【变式1】（2023·全国·高三专题练习）使函数为奇函数，则的一个值可以是（）

A． B． C． D．

【变式2】（多选）（2023秋·江西抚州·高二江西省乐安县第二中学校考开学考试）若函数是偶函数，则的值不可能为（????）

A． B． C． D．

【变式3】（2023秋·宁夏银川·高三校考阶段练习）设函数的最大值为，最小值为，则.

【变式4】（2023·河北沧州·校考模拟预测）若函数为奇函数，则的最小值为.

题型03函数奇偶性与周期性、单调性，对称性的综合问题

【典例1】（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知是上的奇函数，且在区间上是单调函数，则的最大值为（????）

A．3 B．4 C．5 D．6

【典例2】（2023·全国·高一专题练习）已知，且的最小正周期为2.若存在，使得对于任意，都有，则为（????）

A． B． C． D．

【典例3】（2023秋·山西·高三统考期末）写