2025年高中数学人教A版选择性必修3同步复习资料 专题7.9 正态分布（重难点题型精讲）（学生版）.pdfVIP

专题7.9正态分布（重难点题型精讲）

1．连续型随机变量

随机变量的取值充满某个区间甚至整个数轴，但取一点的概率为0，称这类随机变量为连续型随机变量.

2．正态分布

(1)正态曲线

函数f(x)，x∈R.其中∈R，0为参数.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正

态密度曲线，简称正态曲线.

(2)正态分布

若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为XN(,).特别地，

当0，1时，称随机变量X服从标准正态分布.

(3)正态分布的均值和方差

若XN(,)，则E(X)，D(X).

3．正态曲线的特点

(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；

(2)曲线是单峰的，它关于直线x对称；

(3)曲线在x处达到峰值；

(4)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴；

(5)对任意的0，曲线与x轴围成的面积总为1；

(6)在参数取固定值时，正态曲线的位置由确定，且随着的变化而沿x轴平移，如图甲所示；

(7)当取定值时，正态曲线的形状由确定，当较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分

布比较集中；当较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图乙所示.

4．3原则

(1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率

P(-X+)0.6827；

P(-2X+2)0.9545；

P(-3X+3)0.9973.

(2)3原则

在实际应用中，通常认为服从正态分布N(,)的随机变量X只取[-3，+3]中的值，这在统计学

中称为3原则.

【题型1正态曲线的特点】

【方法点拨】

根据正态曲线及其性质，结合正态曲线的特点，进行求解即可.

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,),)

【例1】（2023·高三课时练习）设11，22，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结

论中正确的是（）

A．≥)≥≥)

21

B．≤)≤≤)

21

C．对任意正数≤≥≤

D．对任意正数≥≥≥

【变式1-1】（2022秋·上海黄浦·高三期中）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐

公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，

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N,6,N,2．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（）

12

A．=6B．

12

C．≤38)≤38)D．≤34)≤34)

2

()

−

12