2025年高中数学人教A版必修2同步复习资料 专题7.5 复数的三角表示（重难点题型精讲）（学生版）.pdfVIP

专题7.5复数的三角表示（重难点题型精讲）

1．复数的三角表示式

(1)复数的三角表示式

如图，我们可以用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角来表示复数z.

一般地，任何一个复数za+bi都可以表示成r(+i)的形式.

(2)辅角的主值

显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.例如，

复数i的辐角是

+2kπ，其中k可以取任何整数.对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任

意的，所以复数0的辐角也是任意的.我们规定在02π范围内的辐角的值为辐角的主

值.通常记作argz，即0argz2π.

(3)三角形式下的复数相等

每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.

因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.

2．复数乘法运算的三角表示及其几何意义

(1)复数乘法运算的三角表示

根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到

(+i)(+i)[(+)+i(+)]，

即(+i)(+i)[(+)+i(+)].

这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的

和.

(2)几何意义

两个复数，相乘时，可以像图那样，先分别画出与，对应的向量，，

然后把向量

绕点O按逆时针方向旋转角(如果0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角||)，再

把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积.这是复数乘法的几何

意义.

3．复数除法运算的三角表示及其几何意义

(1)复数除法运算的三角表示

设(+i)，(+i)，且≠，因为

(+i)[(-)+i

(-)](+i)，所以根据复数除法的定义，有

[(-)+i(-)].

这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等

于被除数的辐

角减去除数的辐角所得的差.

(2)几何意义

如图，两个复数，相除时，先分别画出与，对应的向量，，然后把向

量绕点O按

顺时针方向旋转角(如果0，就要把绕点O按逆时针方向旋转角||)，再把它的模

变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是商.这是复数除法的几何意义.

【题型1求辅角主值】

【方法点拨】

求辅角主值时，要考虑角的范围，因此一定要用“模非负，角相同，余弦前，加号连”来判

断是否为三角

形式，再进行求解.

=1−3iarg=

【例1】（2022秋·辽宁·高二开学考试）（i是虚数单位），则z的辐角主值

（）

511ππ

A．πB．πC．−D．−

3636

2

【变式1-1】（2023·高一课时练习）的辐角主值为（）．

π3π

A．B．C．0D．2π

2