2025年高中数学人教A版必修2同步复习资料 专题6.7 平面向量基本定理及坐标表示（重难点题型精讲）（教师版）.pdfVIP

专题6.7平面向量基本定理及坐标表示（重难点题型精讲）

1．平面向量基本定理

(1)平面向量基本定理

如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且

只有一对实数，

，使.若，不共线，我们把{，}叫做表示这一平面内所有向量的一

个基底.

(2)定理的实质

由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底{，}的条件下进行分解——平

面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理

的实质.

2．平面向量的正交分解及坐标表示

(1)正交分解

不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向

量，叫做把向量作正交分解.

(2)向量的坐标表示

如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，，取

{，}作为基

底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使

得x+y.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向

量的坐标，记作(x,y)①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫

做向量的坐标表示.

显然，(1,0)，(0,1)，(0,0).

(3)点的坐标与向量的坐标的关系

3．平面向量线性运算的坐标表示

(1)两个向量和（差）的坐标表示

由于向量(,)，(,)等价于+，+，所以

+(+)+(+)(

+)+(+)，即+(+,+).同理可得-(-,-).

这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).

(2)向量数乘的坐标表示

由(x,y)，可得x+y，则(x+y)x+y，即(x,y).

这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.

4．平面向量数量积的坐标表示

(1)平面向量数量积的坐标表示

由于向量(,)，(,)等价于+，+，所以

(+)(+)

+++.又1，1，0，所以+.

这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.

(2)平面向量长度（模）的坐标表示

若(x,y)，则或.

其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根.

如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为(,)，(,)，那么

(-,-)，||

.

5．平面向量位置关系的坐标表示

(1)共线的坐标表示

①两向量共线的坐标表示

设(,)，(,)，其中≠0.我们知道，，共线的充要条件是存在实数，使

.如果用

坐标表示，可写为(,)(,)，即，消去，得-0.这就是说，向

量，(≠0)共线的充要条件是-0.

②三点共线的坐标表示

若A(,)，B(,)，C(,)三点共线，则有，

​​​​​​​从而(-,-)(-,-)，即(-)(-)(-)(-)，

或由得到(-)(-)(-)(-)，

或由得到(-)(-)(-)(-).

由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线.

(2)夹角的坐标表示

设，都是非零向量，