微积分 第3版 第7章 多元函数微分学及其应用.ppt

解求2.设其中f具有二阶连续偏导数,并无其他条件.无条件极值:对自变量除了限制在定义域内外,条件极值:对自变量有附加条件的极值.7.5.2条件极值拉格朗日乘数法解例2某厂要用铁皮制成容积一定的无盖的长方体盒子，问怎样设计尺寸才能使用料最省？设盒子底边长、宽、高分别为此盒子所用材料面积为则容积为得驻点由条件解出代入上式化为函数令故当盒子长、宽、高都为时用料最省.上例的极值问题也可以看成是求三元函数的极值,要受的限制,这便是一个条件极值问题.目标函数约束条件目标函数中化为无条件极值.有时条件极值可通过将约束条件代入但在一般情形甚至是不可能的.下面要介绍解决条件极值问题的一般下,这样做是有困难的,方法——拉格朗日乘数法到条件拉格朗日乘数法:在条件要求函数下的可能极值点,先构造函数为某一常数,其中可由解出其中(x,y)就是可能的极值点的坐标.其中均为常数,可由偏导数为零及条件解出即得极值点的坐标.下的极值.例如,求函数在条件先构造函数拉格朗日乘数法可推广:或约束条件多于两个的情况.自变量多于两个解由题意，目标函数为作拉格朗日函数约束条件为.解得令例3求直线上最靠近坐标原点的点.直线上的点距原点最近.7.7二重积分7.7.1二重积分的概念柱体体积=底面积×高平顶柱体引例求曲顶柱体的体积曲顶柱体体积=?D曲顶柱体以xOy面上的闭区域D为底,D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面,侧面以顶是曲面且在D上连续).x0zyDSS:z=f(x,y)1.任意分割区域D,化整为零2.以平代曲??ix0zyDS:z=f(x,y)3.积零为整2.以平代曲1.任意分割区域D,化整为零??ix0zyDS:z=f(x,y)4.取极限??i2.以平代曲1.任意分割区域D,化整为零V=3.积零为整x0zyS:z=f(x,y)4.取极限V2.以平代曲V=1.任意分割区域D,化整为零3.积零为整也表示它的面积,定义7.5(1)将闭区域D任意分成n个小闭区域(2)作乘积(3)并作和D设是有界闭区域D的有界函数,积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素这和式则称此零时,如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于的极限存在,记为即(4)极限为函数在闭区域D上的二重积分,曲顶柱体体积曲顶即在底D上的二重积分,二重积分的几何意义当被积函数小于零时,二重积分是柱体的体积的负值．2.在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D,二重积分可写为注定积分中1.重积分与定积分的区别:重积分中可正可负.则面积元素为D7.7.2直角坐标系下二重积分的计算二重积分的计算方法是:将二重积分化为二次1.矩形区域上的二重积分积分区域D为矩形在D上连续.设积分(累次积分)来计算.的值等于以区域D为底,曲面z=f(x,y)把柱体切割成平行于xOz平面的薄片,对应薄片又有于是为顶的曲顶柱体的体积,现用定积分计算这个体积.2.横向区域:这样的区域上通常可以先对x积分,再对y积分则例2计算其中D是由直线先对x积分所围平面闭区域.解3.纵向区域这样的区域上通常可以先对y积分,再对x积分则例3计算其中D如图所示.解先对y积分D2D14.复杂区域