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概率论重要知识点总结REPORTING2023WORKSUMMARY

目录CATALOGUE概率论基本概念随机变量及其分布多维随机变量及其分布数字特征与特征函数大数定律与中心极限定理参数估计与假设检验

PART01概率论基本概念

所有可能结果的集合，常用大写字母S表示。样本空间空集，即不可能发生的事件。不可能事件样本空间的子集，即某些可能结果的集合。事件常用大写字母A、B、C等表示。事件样本空间中的单个元素，即一个可能结果构成的事件。基本事件包含样本空间中所有元素的事件，即一定会发生的事件。必然事件0201030405样本空间与事件

规范性对于必然事件S，有P(S)=1。概率定义在给定条件下，某一事件发生的可能性大小。概率常用P(A)表示事件A发生的概率。非负性对于任何事件A，有P(A)≥0。可加性对于互斥事件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)。概率的加法公式对于任意两个事件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)?P(A∩B)。概率定义及性质

条件概率与独立性如果事件A和B相互独立，则它们的任何子集或补集也相互独立。事件的独立性：如果两个事件A和B满足P(A∩B)=P(A)P(B)，则称事件A和B是相互独立的。独立性的性质包括条件概率：在给定某一事件B发生的条件下，另一事件A发生的概率。条件概率用P(A|B)表示。条件概率的计算公式为P(A|B)=P(A∩B)/P(B)。如果事件A和B相互独立，且它们都与事件C相互独立，则它们的交、并、差等运算结果也与C相互独立。如果n个事件相互独立，则其中任意k个事件也相互独立（2≤k≤n）。

PART02随机变量及其分布

03常见离散型随机变量分布二项分布、泊松分布等。01定义取值可数的随机变量，如投掷骰子的点数。02概率分布列描述离散型随机变量取各个值的概率。离散型随机变量

取值充满某个区间的随机变量，如测量某物体的长度。定义描述连续型随机变量在某个值附近的概率分布情况。概率密度函数正态分布、均匀分布、指数分布等。常见连续型随机变量分布连续型随机变量

一维随机变量的函数分布通过已知随机变量的分布，求其函数的分布。随机变量的独立性探讨两个或多个随机变量是否相互独立。多维随机变量的函数分布涉及多个随机变量的函数，求其联合分布或条件分布。随机变量的函数分布

PART03多维随机变量及其分布

联合概率密度函数对于连续型随机变量，联合概率密度函数$f(x,y)$满足$F(x,y)=int_{-infty}^{x}int_{-infty}^{y}f(u,v)dudv$。联合分布律对于离散型随机变量，联合分布律$p_{ij}=P(X=x_i,Y=y_j)$，表示$X$取$x_i$且$Y$取$y_j$的概率。联合分布函数描述二维随机变量$(X,Y)$在某一取值范围内的概率，即$F(x,y)=P(Xleqx,Yleqy)$。二维随机变量联合分布

边缘分布函数由联合分布函数推导出的单一随机变量的分布函数，即$F_X(x)=F(x,infty)$和$F_Y(y)=F(infty,y)$。由联合概率密度函数/联合分布律推导出的单一随机变量的概率密度函数/分布律。在给定另一随机变量取值的条件下，一个随机变量的分布函数，如$F_{X|Y}(x|y)$表示在$Y=y$的条件下$X$的分布函数。在给定另一随机变量取值的条件下，一个随机变量的概率密度函数/分布律。边缘概率密度函数/边缘分布律条件分布函数条件概率密度函数/条件分布律边缘分布与条件分布

定义性质推论相互独立随机变量若二维随机变量$(X,Y)$的联合分布函数可表示为各自边缘分布函数的乘积，即$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$，则称$X$与$Y$相互独立。若$X$与$Y$相互独立，则它们的联合概率密度函数/联合分布律可表示为各自边缘概率密度函数/边缘分布律的乘积。若$(X,Y)$相互独立，则对于任意实数$a,b$，事件${Xleqa}$与事件${Yleqb}$也相互独立。

PART04数字特征与特征函数

数学期望描述随机变量取值的“平均水平”，是概率加权下的平均值。对于离散型随机变量，数学期望是所有可能取值与其对应概率的乘积之和；对于连续型随机变量，数学期望是概率密度函数与自变量的乘积在全体实数范围内的积分。方差衡量随机变量取值与其数学期望的偏离程度。方差越大，说明随机变量取值的离散程度越高；方差越小，说明随机变量取值的集中程度越高。方差的计算公式是各个数据与平均数之差的平方的平均数。数学期望与方差

衡量两个随机变量的总体误差。如果两个随机变量的变化趋势一致，则协方差为正；如果两个随机变量的变化趋势相反，则协方差为负；如果两个随机变量相互独立，则协方差为零。协方差衡量两个随机变量之间线性相关程度的量。相关系数的取值范围为[-1,