新人教高中数学必修 第2章一元二次函数.docx

第2章一元二次函数、方程和不等式

【章头语】相等关系和不等关系是数学中最基本的数量关系.我们可以利用相等关系、不等关系构建方程、不等式,再通过方程、不等式解决数学内外的各种问题.在初中,我们已学过一次函数与方程、不等式,还学过二次函数与一元二次方程,知道方程(组)、不等式与函数之间具有内在联系,可以用函数的观点把它们统一起来,这是数学知识的联系性与整体性的体现.

本章将在初中学习的基础上,通过具体实例理解不等式,认识不等关系和不等式的意义与价值;在梳理等式性质的基础上,通过类比,研究不等式的性质,并利用这些性质研究一类重要的不等式——基本不等式;通过从实际情境中抽象一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义,理解一元二次不等式的概念,并像利用一次函数、方程和不等式的关系解决一元一次不等式的问题那样,利用二次函数、方程和不等式的关系解决一元二次不等式的有关问题,从而进一步体会用函数观点统一方程和不等式的数学思想方法.

2.1等式性质与不等式性质

【节引言】在现实世界和日常生活中,大量存在着相等关系和不等关系,例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等.类似于这样的问题,反映在数量关系上,就是相等与不等.相等用等式表示,不等用不等式表示.

问题1你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗?

(1)某路段限速40km/h;

(2)某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%,蛋白质的含量p应不少于2.3%;

(3)三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；

(4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.

对于(1),设在该路段行驶的汽车的速度为vkm/h,“限速40km/h”就是v的大小不能超过40,于是0

【思考】你能写出其他的可能情况吗?

对于(2),由题意,得f

对于(3),设△ABC的三条边为a,

对于(4),如图2.1-1,设C是线段AB外的任意一点,CD垂直于AB,垂足为D,E是线段AB上不同于D的任意一点,则

以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式.

图2.1-1接着,就可以用不等式研究相应的问题了.

问题2某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,杂志的单价每提高0.1元,销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元?设提价后每本杂志的定价为x元,则销售总收入为8?x

8?

求出不等式(1)的解集,就能知道满足条件的杂志的定价范围.

如何解不等式(1)呢?与解方程要用等式的性质一样,解不等式要用不等式的性质.为此,我们需要先研究不等式的性质.

实际上,在初中我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质.那么,这些性质为什么是正确的?还有其他不等式的性质吗?回答这些问题要用到关于两个实数大小关系的基本事实.

由于数轴上的点与实数一一对应,所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系:如图2.1-2,设a,b是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别是A,B.那么,当点A在点B的左边时,ab;当点

图2.1-2

关于实数a,

如果a?b是正数,那么ab;如果a?b等于0,那么

这个基本事实可以表示为

a

【贴示】从上述基本事实可知,要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的差与0的大小.

例1比较(x+2)(x

分析：通过考察这两个多项式的差与0的大小关系,可以得出它们的大小关系.

解：因为

(

所以(

【贴示】0是正数与负数的分界点,它为实数比较大小提供了“标杆”.

这里,我们借助多项式减法运算,得出了一个明显大于0的数(式).这是解决不等式问题的常用方法.

【探究】

图2.1-3是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗?

图2.1-3

将图2.1-3中的“风车”抽象成图2.1-4.在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边的长为a,b(a≠b),那么正方形的边长为a2+

a

当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=

图2.1-4

EFGH缩为一个点,这时有

a

于是就有a2

一般地,?a,

当且仅当a=

事实上,利用完全平方差公式,得

a

因为?a,b∈R,(a?b

【练习】

1.用不等式或不等式组表示下面的不等关系:

(1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度?从地面算起不能超过4m;

(2)a与b的和是非负实数;

(3)如图,在一个面积小于350m2的矩形地基的中心位置上建造一个仓库,仓库的四周建成绿地,仓库的长L大于宽

(第1(3)题)

2.比较(x+3)(x

3.已知ab,证明

关于两个实数大小关系