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三面角公式及其应用

三面角是立体几何的基本概念之一，是组成多面体的重要元素。与平面几何中有关三角形的正、余弦定理类似，有关三面角的正、余弦定理是解三面角的重要依据。熟练掌握解三面角的方法，可以较大地提高立体几何的解题能力。

0、什么是三面角?:

有公共端点且不共面的三条射线以及相邻两射线间的平面部分所组成的图形叫三面角。

①点S为三面角S—ABC的顶点。

②射线SA、SB、SC为三面角S—ABC的三条棱，

③三条棱它们所对的∠BSC、∠CSA、∠ASB为三面角S—ABC的三个面角。通常可用a、b、c表示。

④以SA、SB、SC为棱的二面角B—SA—C、C—SB—A、A—SC—B可用A、B、C来表示。

⑤以SA为棱的二面角B—SA—C所对的面角为：∠BSC以SB为棱的二面角C—SB—A所对的面角为：∠CSA以SC为棱的二面角A—SC—B所对的面角为：∠ASB

一、三面角正弦定理：三面角中面角的正弦的比等于所对二面角的正弦的比

即：

简单证明：如图在SA上任取点P作PO⊥面SBC于O,作

;PE⊥SC,PF⊥SB,易得：,即

;

PO=PEsinC=PFsinB,

即SAsin∠BSA·sinC=SAsin∠CSA·sinB,

故

二、三面角余弦定理：

第一余弦定理：三面角一个面角的余弦等于其他两个面角的余弦的乘积加上它们的正弦及它们所夹

二面角的连乘积。

cos∠BSC=cos∠ASCcos∠BSA+sin∠ASCsin∠BSAcosA

证明：分析不失一般性，对三面角S—ABC,只须证明cosa=cos证明时利用上述公式Ⅱ及三角形的余弦定理即可。

证明如图，设三面角S—ABC的面角

b及c均为锐角。在SB、SC上分别取ISB?I=ISC?I=1。作B?B?⊥SA于B?,C?C?⊥SA于C?,则IB?B?I=sinC,IC?C?I=sinb二面角B—SA—C中，

IB?C?I2=IB?B?I2+IC?C?I2+IB?C?I2-2IB?B?I·IC?C?I·

cosA=sin2C+sin2B+(cosc-cosb)2-2sincsinbcosA

bcosc+sinbsinc·cosA

△B?SC?中，IB?C?I2=ISB?I2+ISC?I2-2ISB?I·ISC?I-cosa=2-2cosA

因此sin2C+sin2B+(cosc-cosb)2-2sincsinbcosA=2-2cosA

经整理即得cos∠BSC=cos∠ASCcos∠BSA+sin∠ASCbsin∠BSAcosA同理：cos∠ASC=cos∠BSCcos∠BSA+sin∠BSCsin∠BSAcosB

cos∠BSA=cos∠ASCcos∠BSC+sin∠ASCsin∠BSCcosC

图2-13

变形：

备注：“边、角、边”解三面角型，可采用第一余弦定理。

第二余弦定理：三面角中任一二面角的余弦等于其余两个二面角的余弦乘积的相反数加上此两个二面角的正弦及其所夹面角的余弦的连乘积。

cosA=-cosBcosC+sinBsinCcosa

备注：“角、边、角”解三面角型，可采用第二余弦定理。

四、相关应用：

1.已知，三面角S—ABC中。三个面角a=45°,b=90°,C=60°,求cosC.分析本题为已知“边、角、边”解三面角型，可采用第一余弦定理。

解由cosc=cosacosb+sinasinbcosC

注意三面角的三个面角之和不一定等于180°,因此不能误用解平面几何中三角形时三内角之和为180°来求第三个面角，本题中的面角C显然大于45°。由此可知，尽管三面角与三角形有许多类似之处，但它们之间又有许多完全不同的性质。例如正弦定理，三角形的正弦定理中边与其对应角的正弦的比值除相等外，还等于常量——此三角形外接圆直径。而三面角中面角正弦与其对应二面角正弦之比只是相等，但不等于常量。至于余弦定理，三面角的余弦定理有两类更是有别于三角形的。

2.三条射线SA,SB,SC所成的角∠ASC=∠BSC=30°,∠ASB=45°,