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16中等数学

用三面角公式求二面角的度数

兰振万

(重庆市涪陵五中，408000)

先介绍三面角公式.如图1,设三棱锥A-BCD的三个面角分别为αβy,其中γ所在面ABD所对的二面角B-AC-D的度

解：如图2,知α=β=45°,COSγ

=Cos∠ACB

图2

数为0.则图1

证明：不失一般性，不妨假定面BCD⊥棱AC.设AC=m,则

BC=mtgα,AB=msecα,

CD=mtgβ,AD=msecβ.

在△ABD和△BCD中，分别应用余弦定

由三角面公式可得

理得例2如图3,设E、F、G分别是正四面

BD2=m2sec2α+m2sec2β-

①②2m2secαsecβ

①

②

BD2=m2tg2α+m2tgβ-

2m2tgxtgβcosθ.由式①、②得

tg2α+tg2β-2tgαtgβcosθ

=sec2a+sec2β-2secαsecβcosγ.

化简即得

例1已知Rt△ABC的两直角边AC=2,CB=3,CP为∠ACB的平分线(点P在斜边AB上).沿CP将直角三角形折成二面角A-CP-B.当AB=2√2时，二面角A-CP

-B的大小是

(1997,爱朋思杯—上海市高中数学竞赛)收稿日期：2006-05-22修回日期：2006-06-27

体ABCD的棱AB、BC、CD的中点.则二面角C-FG-E的大小是().

(1998,全国高中数学联赛)

图3图4

解：如图4,设正四面体的棱长为2a,CE是边长为2a的正△ABC的高，即CE=J3a,EG是腰长为3a、底长为2a的等腰△ECD的高，即EG=√2a.

0O1994-2006ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.

2006年第9期17

由等边△GCF知α=60°.

由勾股逆定理知β=45°,y=90°.由三面角公式得

而,所以，

D?C?不B例3如图5,在棱长为a的正方体A

D?

C?

不B

ABCD-A?B?C?D?

D,JcBE图5中，E、F分别是棱AB、BC的中点.求二A面角B-FB?-E的

D,

Jc

B

E

图5

(2002,湖南省高中数学奥林匹克)

解：如图6,由勾股定理得

B?E=B?

在Rt△FBB?中，有

由△EB?B=△FB?B,

图6

知β=γ.

所以

因此

由三面角公式得

例4如图7,正方体ABCD-A?B?CD?中，二面角A-BD?-A,的度数是

(2004,全国高中数学联赛)

CD

C

A.B

A.

cD-A

c

图7图8

解：如图8,设正方体的棱长为1,则

BA?=J2,BD?=3.由三垂线定理知

BA?⊥A?1

,所以，又BA⊥AD?

,所以，

由等腰Rt△A?AB知由三面角公式得

从而f=60°.

例5如图9,已知正方体ABCD-A?B?C?D?中，E、F分别是AB、AA?的中点.则平面CEB,与平面D?FB?所成二面角的平面角的正弦值为().

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18中等数学

③

③

(A(C)

(A

(C)

(2005,全国高中数