专题5二次函数与面积最值定值问题-挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（解析版）.pdfVIP

挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘

专题5二次函数与面积最值定值问题

面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素边与角，由动点而生成的面积问题

是抛物线与直线形结合的觉形式，常见的面积问题有规则的图形的面积（如直角三角形、平行四边形、菱

形、矩形的面积计算问题）以及不规则的图形的面积计算，解决不规则的图形的面积问题是中考压轴题常

考的题型，此类问题计算量较大。有时也要根据题目的动点问题产生解的不确定性或多样性。解决这类问

.

题常用到以下与面积相关的知识：图形的割补、等积变形、等比转化等数学方法面积的存在性问题常见的

题型和解题策略有两类：一是先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根．二是先假设关

系存在，再列方程，后根据方程的解验证假设是否正确．

解决动点产生的面积问题，常用到的知识和方法，如下：

1“”

如图，如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样规则的三角形的面积，直接用面积公式．

23“”“”“”

如图，图，三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样不规则的三角形的面积，用割或补

的方法．

图1图2图3

计算面积长用到的策略还有：

4

如图，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．

5

如图，同底三角形的面积比等于高的比．

6

如图，同高三角形的面积比等于底的比．

图4图5图6

2

【例1】（2021•内江）如图，抛物线y＝ax+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于

点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，3）．

（1）求抛物线的解析式与直线l的解析式；

（2）若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接PA、PD，求当△PAD面积最大时点P的坐标及该面

积的最大值；

（3）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标．

【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．

2

（2）如图1中，过点P作PE∥y轴AD于点E．设P（m，﹣m+m+3），则E（m，m+1）．因为S

△PAD＝•（xD﹣xA）•PE＝3PE，所以PE的值最大值时，△PAD的面积最大，求出PE的最大值即可．

（3）如图2中，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT，则T（﹣5，6），设DTy轴于点Q，则

∠ADQ＝45°，作点T关于AD的对称点T′（1，﹣6），设DQ′y轴于点Q′，则∠ADQ′＝45°，

分别求出直线DT，直线DT′的解析式即可解决问题．

2

【解析】（1）∵抛物线y＝ax+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，

∴设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣6），

∵D（4，3）在抛物线上，

∴3＝a（4+2）×（4﹣6），

解得a＝﹣，

2

∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣6）＝﹣x+x+3，

∵直线l经过A（﹣2，0）