2025年高中数学人教A版选择性必修1同步复习资料 专题3.1 椭圆及其标准方程-重难点题型精讲（教师版）.pdfVIP

专题3.1椭圆及其标准方程-重难点题型精讲

1．椭圆的定义

(1)定义：平面内与两个定点,的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫

作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距.

(2)椭圆定义的集合表示P{,2a}.

2．椭圆的标准方程

椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：

3．椭圆方程的求解

(1)用定义法求椭圆的标准方程

根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.

(2)用待定系数法求椭圆的标准方程

①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待

定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的

位置）.

②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点

在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方

程为1(A0,B0,A≠B)，再解答.

4．椭圆的焦点三角形

(1)焦点三角形的概念

设M是椭圆上一点，,为椭圆的焦点，当点M,,不在同一条直线上时，它们构成一个三角形

——

焦点三角形，如图所示.

(2)焦点三角形的常用公式

①焦点三角形的周长L2a+2c.

②在中，由余弦定理可得.

③设，，则.

【题型1曲线方程与椭圆】

【方法点拨】

根据所给曲线方程表示椭圆，结合椭圆的标椎方程进行求解，即可得出所求.

22

【例1】（2022·湖北·高三期末）已知曲线+=1，则“0”是“曲线C是椭圆”的（）

432

A．充要条件B．充分不必要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

【解题思路】根据已知曲线的方程和椭圆的方程特点，结合充分条件和必要条件的判定即可

40

【解答过程】若曲线椭圆，则有：3+20

4≠3+2

解得：0，且≠2

故“0”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件

故选：C.

22

【变式1-1】（2021·全国·高二专题练习）“15”是“方程+=2表示椭圆”的（）

15−

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

−10,

5−0,15≠3

【解题思路】根据椭圆的标准方程可得，解不等式组得出且，再利用必

−1≠5−

要不充分条件定义即可求解.

−10,

【解答过程】若方程表示椭圆，则有5−0,