2025年高中数学人教A版选择性必修1同步复习资料 专题1.11 空间角的向量求法大题专项训练（30道）（教师版）.pdfVIP

专题1.11空间角的向量求法大题专项训练（30道）

【人教A版2019选择性必修第一册】

姓名：___________班级：___________考号：___________

1．（2022•松江区校级开学）在三棱锥A﹣BCD中，已知CB＝CD=5，BD＝2，O为BD中点，AO⊥平

面BCD，AO＝2．

（1）求三棱锥A﹣BCD的体积；

（2）若点E、F分别为AC、BC的中点，求直线AD与平面DEF所成角的大小．

【解题思路】（1）先求出底面积S△BCD＝2，证明出AO⊥平面BCD，即可求体积；

（2）以OB，OC，OA所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．用向量法求解．

【解答过程】解：（1）连接OC，在△BCD中，因为CB＝CD=5，BD＝2，O为BD中点，

1

22

所以OC⊥BD，所以OC=−=2，且S△BCD=⋅=2．

2

因为AO⊥平面BCD，且AO＝2，即三棱锥A﹣BCD的高为2，

114

所以三棱锥A﹣BCD的体积为V=⋅=×2×2=．

333

（2）由（1）知，OC⊥BD且AO⊥平面BCD，

以OB，OC，OA所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．

如图所示，可得A（0，0，2），B（1，0，0），C（0，2，0），D（﹣1，0，0）．

1

因为点E，F分别为AC，BC的中点，所以E（0，1，1），F（，1，0）．

2

→→→3

=(1，0，2)

所以，=(1，1，1)，=(，1，0)．

2

→

→

→=++=0⋅

设平面DEF的法向量为=(，则→→3，

⋅=+=0

2

→

取y＝﹣3，可得x＝2，z＝1，即=(2，−3，1)，

→

→

|4270

设直线AD与平面DEF所成角为θ，可得sinθ=→==．

→5⋅1435

||

270

所以直线AD与平面DEF所成角为arcsin