专题29几何综合压轴问题（共50题）-2020年中考数学真题分项汇编（解析版）【全国通用】.pdf

2020年中考数学真题分项汇编（全国通用）

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专题几何综合压轴问题【共题】

一．解答题（共50小题）

1．（2020•天水）性质探究

如图（1），在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，则底边AB与腰AC的长度之比为3：1．

理解运用

33

（1）若顶角为120°的等腰三角形的周长为4+2，则它的面积为；

（2）如图（2），在四边形EFGH中，EF＝EG＝EH，在边FG，GH上分别取中点M，N，连接MN．若

∠FGH＝120°，EF＝20，求线段MN的长．

类比拓展

顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为2sinα：1．（用含α的式子表示）

【分析】性质探究：如图1中，过点C作CD⊥AB于D．解直角三角形求出AB（用AC表示）即可解决

问题．

理解运用：①利用性质探究中的结论，设CA＝CB＝m，则AB=3m，构建方程求出m即可解决问题．

②如图2中，连接FH．求出FH，利用三角形中位线定理解决问题即可．

类比拓展：利用等腰三角形的性质求出AB与AC的关系即可．

【解析】性质探究：如图1中，过点C作CD⊥AB于D．

∵CA＝CB，∠ACB＝120°，CD⊥AB，

∴∠A＝∠B＝30°，AD＝BD，

∴AB＝2AD＝2AC•cos30°=3AC，

∴AB：AC=3：1．

故答案为3：1．

理解运用：（1）设CA＝CB＝m，则AB=3m，

由题意2m+3m＝4+23，

∴m＝2，

3

∴AC＝CB＝2，AB＝2，

∴AD＝DB=3，CD＝AC•sin30°＝1，

1

∴S△ABC=•AB•CD=3．

2

故答案为3．

（2）如图2中，连接FH．

∵∠FGH＝120°，EF＝EG＝EH，

∴∠EFG＝∠EGF，∠EHG＝∠EGH，

∴∠EFG+∠EHG＝∠EGF+∠EGH＝∠FGH＝120°，

∵∠FEH+∠EFG+∠EHG+∠FGH＝360°，

∴∠FEH＝360°﹣120°﹣120°＝120°，

∵EF＝EH，

∴△EFH是顶角为120°的等腰三角形，

∴FH=3EF＝203，

∵FM＝MG．GN＝GH，

1

3

∴MN=FH＝10．

2

类比拓展：如图1中，过点C作CD⊥AB于D．

∵CA＝CB，∠ACB＝2α，CD⊥AB，

∴∠A＝∠B＝30°，AD＝BD，∠ACD＝∠BCD＝α

∴AB＝2AD＝2AC•sinα

∴AB：AC＝2sinα：1．

故答案为2sinα：1．

2．（2020•青海）在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．

特例感知：

（1）将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC重合，

另一条直角边恰好经过点B．通过观察、测量BF与CG的长度，得到BF＝CG．请给予证明．

猜想论证：

（2）当三角尺沿AC方向移动到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边重合，另一条直角边交BC

于点D，过点D作DE⊥BA垂足为E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE、

DF与CG之间存在的数量关系，并证明你的猜想．

联系拓展：

（3）当三角尺在图2的基础上沿AC方向继续移动到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点

C不重合）时，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立？（不用证明）

【分析】（1）证明△FAB≌△GAC即可解决问题．

（2）结论：CG＝DE+DF．利用面积法证明即可．

（3）结论不变，证明方法类似（2）．

【解答】（1）证明：如图1中，

∵∠F＝∠G＝90°，∠FAB＝∠CAG，AB＝AC，

∴△FAB≌△GAC（AAS），

∴FB＝CG．

（2）解