福建省福州十校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（解析版）.docx

2024-2025学年第一学期期中考试

高二数学试卷

（满分：150分；考试时间：120分钟）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.直线的倾斜角是（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】求出给定直线的斜率，进而求出其倾斜角.

直线方程化为，其斜率，

倾斜角满足，所以.

故选：D

2.圆的圆心坐标和半径分别为（）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据圆的标准方程，直接得到圆心和半径.

根据圆的标准方程，

即可得圆心坐标为，半径为.

故选：B

3.过点，且垂直于直线的直线方程是（）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】由垂直关系求出所求直线斜率，由点斜式得到直线方程.

根据垂直关系得所求直线的斜率为，又过点

所以所求直线方程为，即.

故选：A

4.如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为3，且它们彼此的夹角都是，则对角线长为（）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用空间向量将线段的长度转化成求解向量的模长度.

如图，由已知，，，

∵，

∴

，

∴，即，

故选：A.

5.直线的图象可能是（）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据直线的斜截式方程的特征得到直线的斜率，直线在y轴上的截距为（），再逐一判断各个选项即可求解.

由直线，得：，直线的斜率，直线在y轴上的截距为，

当时，，则直线经过第一象限和第三象限，且与轴相交于轴下方；

当时，，则直线经过第二象限和第四象限，且与轴相交于轴上方；

只有B选项的图象符合题意，

故选：B.

6.过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（）

A B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据切线长的求法，将问题化为求到直线距离最小，进而求的最小值.

由题设，圆中，半径为1，

又，故只需最小，则最小，

圆心到直线的距离，

当时，，所以.

故选：D

7.在三棱锥中，平面BCD，，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】画出四面体，建立坐标系，利用向量法求异面直线所成角的余弦值即可.

四面体是由正方体的四个顶点构成的，

如下图所示建立如下图所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为

因为异面直线夹角的范围为，

所以异面直线BM与CD夹角的余弦值为

故选：B

8.是圆上两点，，若在圆上存在点恰为线段的中点，则实数的取值范围为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】由得弦中点到圆心的距离，则点在以为圆心，为半径的圆上，又在圆上存在点，则可转化为两圆有公共点问题求解即可.

圆，圆心，，

由是弦的中点，且，则由圆的几何性质，，

所以，

故点在以为圆心，以为半径的圆上.

又在圆上存在点满足题设，

且其圆心，半径，

则由两圆有公共点，得，即，

解得，或.

故选：C.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.以下关于直线的表述正确的是（）

A.斜率为，在y轴上截距为3的直线方程为

B.经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线方程为

C.点斜式方程可用于表示过点且不与轴垂直的直线

D.已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为

【答案】AC

【解析】

【分析】对于A：根据斜截式方程分析判断即可；对于B：举反例说明即可；对于C：根据点斜式方程分析判断即可；对于D：根据斜率公式结合图像分析求解.

对A，斜率为，在y轴上的截距为3的直线斜截式方程为，A正确；

对B，经过点和原点的直线也满足题意，故B错误；

对C，点斜式方程适用于斜率存在的直线，C正确；

对D，易知直线过定点，

可得，

由图和正切函数性质可知，或，D错误.

故选：AC.

10.如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，则下列结论正确的是（）

A

B.直线到平面的距离为2

C.点到直线的距离为

D.平面截正方体的截面的面积为

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据正方体的性质建立空间直角坐标系，选项A：利用空间向量的减法的坐标运算求解即可，选项B：利用空间向量证明平面，求直线到平面的距离转化成点到平面的距离，求解即可，选项C：利用空间向量求解点到直线的距离即可，选项D:先求证所求截面是平行四边形且是菱形然后求解面积.

依题意，建立空间直角坐标系，如图，

，

对于A，，

则，故A正确；

对于B，易得平面的法向量为，而，

所以，又平面，所以平面，

所以点到平面的距离即直