数学分析20.1第一型曲线积分(含习题及参考答案).docVIP

第二十章曲线积分

1第一型曲线积分

一、第一型曲线积分的定义

引例：设某物体的密度函数f(P)是定义在Ω上的连续函数.当Ω是直线段时，应用定积分就能计算得该物体的质量.

当Ω是平面或空间中某一可求长度的曲线段时，可以对Ω作分割，把Ω分成n个可求长度的小曲线段Ωi(i=1,2,…,n)，并在每一个Ωi上任取一点Pi.由f(P)为Ω上的连续函数知，当Ωi的弧长都很小时，每一小段Ωi的质量可近似地等于f(Pi)△Ωi,其中△Ωi为小曲线段Ωi的长度.于是在整个Ω上的质量就近似地等于和式.

当对Ω有分割越来越细密(即d=→0)时，上述和式的极限就是该物体的质量.

定义1：设L为平面上可求长度的曲线段，f(x,y)为定义在L上的函数.对曲线L作分割T，它把L分成n个可求长度的小曲线段Li(i=1,2,…,n)，Li的弧长记为△si，分割T的细度为=，在Li上任取一点(ξi,ηi),(i=1,2,…,n).若有极限=J，且J的值与分割T与点(ξi,ηi)的取法无关，则称此极限为f(x,y)在L上的第一型曲线积分，记作：.

注：若L为空间可求长曲线段，f(x,y,z)为定义在L上的函数，则可类似地定义f(x,y,z)在空间曲线L上的第一型曲线积分.

性质：1、若(i=1,2,…,k)存在，ci(i=1,2,…,k)为常数，则

=.

2、若曲线L由曲线L1,L2,…,Lk首尾相接而成，且(i=1,2,…,k)都存在，则也存在，且=.

3、若与都存在，且f(x,y)≤g(x,y)，则

≤.

4、若存在，则也存在，且≤.

5、若存在，L的弧长为s，则存在常数c，使得=cs,

这里≤c≤.

6、第一型曲线积分的几何意义：(如图)若L为平面Oxy上分段光滑曲线，f(x,y)为定义在L上非负连续函数.由第一型曲面积分的定义，以L为准线，母线平行于z轴的柱面上截取0≤z≤f(x,y)的部分面积就是.

二、第一型曲线积分的计算

定理20.1：设有光滑曲线L:,t∈[α,β]，函数f(x,y)为定义在L上的连续函数，则=.

证：由弧长公式知，L上由t=ti-1到t=ti的弧长为△si=.

由的连续性与积分中值定理，有

△si=△ti(ti-1t=ti)，

∴=(ti-1,t=ti).

设σ=，则有

=+σ.

令△t=max{△t1,△t2,…,△tn}，则当→0时，必有△t→0.

又复合函数f(φ(t),ψ(t))关于t连续，∴在[α,β]上有界，即

存在常数M，使对一切t∈[α,β]，都有|f(φ(t),ψ(t))|≤M.

再由在[α,β]上连续，从而在[α,β]上一致连续，即

?ε0,?δ0，使当△tδ时有ε,

从而|σ|≤εM=εM(β-α)，即=0.又由定积分的定义，得

=.故

==+σ=.

注：1、若曲线L由方程y=ψ(x),x∈[a,b]表示，且ψ(x)在[a,b]上有连续的导函数时，则有=.

2、当曲线L由方程x=φ(y),y∈[c,d]表示，且φ(y)在[c,d]上有连续的导函数时，则有=.

3、对空间曲线积分，当曲线L由参量方程x=φ(t),y=ψ(t),z=χ(t),t∈[α,β]表示时，有

=.

4、由第一型曲线积分的定义，在Oxy平面上，线密度为ρ(x,y)的曲线状物体对x,y轴的转动惯量分别为：Jx=和Jx=.

例1：设L是半圆周,t∈[0,π]，试计算第一型曲线积分.

解：===a3π.

例2：设L是y2=4x从O(0,0)到A(1,2)的一段，试求第一型曲线积分.

解：====.

例3：计算，其中L为球面x2+y2+z2=a2被平面x+y+z=0所截得的圆周.

解：由对称性知，==，

∴===.

例4：求线密度ρ(x,y)=的曲线段y=lnx,x∈[1,2]对于y轴的转动惯量.

解：Jx=====ln4-.

习题

1、计算下列第一型曲线积分：

(1),其中L是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形；

(2),其中L是以原点为中心，R为半径的右半圆周；

(3),其中L为椭圆+=1在第一象限中的部分；

(4),其中L为单位圆周x2+y2=1；

(5),其中L为螺旋线x=acost,y=asint,z=bt(0≤t≤2π)的一段；

(6),其中L是曲线x=t,y=,z=t2(0≤t≤1)的一段；

(7),其中L为x2+y2+z2=a2与x=y相交的圆周.

解：(1)=++

=++=1+.

(2)右半圆的参数方程为：x=Rcosθ,y=Rsinθ,-≤θ≤.

∴==πR2.

(3)方法一：∵y=,y’=,

∴==

=.

方法二：L的参数方程为：x=acosθ,y=bsinθ,0≤θ≤.

∴=

==.

(4)方法一：圆的参数方程为：x=co