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高斯小学奥数六年级上册含答案第09讲几何综合

第九讲几何综合问题

这一讲我们学习几何综合题，题型是复杂而巧妙的．这种问题往

往需要我们有点武侠小说中“借力打力”的能力，不要硬碰硬，而是

借巧劲．比如已知一个面积为2的正方形，求边长为其两倍的正方形

的面积．把边长具体数值求出来，用边长的关系来计算面积的想法是

不可行的．而且事实上也是没必要的，我们可以把面积为2的正方形

边长设为a，它的两倍为2a，则

22a=，以2a为边长的正方形面积为2224428aaa?=?=?=．我

们再来看几个用类似想法解决的问题．

本讲知识点汇总：

一、

巧用面积公式，利用图形面积之间的和差关系来求解图形面积．

1.圆与直角三角形中利用勾股定理．

2.同底三角形利用“2?÷公共底高的和”求面积和，

“2?÷公共底高的差”求面积差．

3.不去考虑每块图形的面积，而是将若干块图形放在一起，考虑

其面

积之间的和差关系．

二、

辅助线与几何变换．

1.通过割、补，将图形的变为规则图形，以便于分析．

2.通过几何变换（翻转、对称）等，将图形变得易于求解．

三、

图形运动．

能够正确地画出简单几何图形（如圆等）在运动过程中所扫过区

域的

边界，并求解相关的长度和面积．

例1．

如图，阴影部分的面积是25平方厘米，求圆环的面积．（取

3.14）

「分析」阴影部分等于大等腰直角三角形减去小等腰直角三角形，

而圆环等于大圆减去小圆．那么阴影部分面积与圆环面积之间有什么

联系呢？

练习1、下图中阴影部分的面积是40平方厘米，求圆环的面

积．（π取3.14）

B

A

例2．

如图，在长方形ABCD中，30AB=厘米，40BC=厘米，P为BC

上一点，PQ垂直于AC，PR垂直于BD．求PQ与PR的长度之和．

「分析」如果这道题只是要尝试出一个结果的话，我们只要让P

取特殊点，例如取成B点，所求的长度之和就是B点到AC边的距

离．但PQ与PR的长度之和是否是一个固定的值呢？

练习2、如图，在面积为72的正方形中，

P为CD边上一点，PQ与BD垂直，PR与AC垂直．求PQ与

PR的和．

例3．如图，P为长方形ABCD内的一点．三角形PAB的面积

为5，三角形PBC的面积为

13．请问：三角形PBD的面积是多少？

「分析」直接用面积公式或者比例关系来求三角形PBD面积，显

然不可行．那么还有什么方法可以用来求三角形PBD面积呢？

B

C

A

P

D

P

CA

Q

B

D

P

R

O

练习3、如图，P为长方形ABCD外的一点．三角形PAB的面积

为7，三角形

PBC的面积为20，三角形PCD的面积为4．请问：三角形PAD

的面积是多少？三角形PAC的面积又是多少？

中国古代的几何学

形的研究属于几何学的范畴．古代民族都具有形的简单概念，

并往往以图画来表示，而图形之所以成为数学对象，便是由工具

的制作与测量的要求所促成的．规矩以作圆方，中国古代夏禹泊水时

即已有规、矩、准、绳等测量工具．《史记》“夏本纪”记载说：夏

禹治水，“左规矩，右准绳”．“规”是圆规，“矩”是直角尺，

“准绳”则是确定铅垂方向的器械．这些都说明了早期几何学的应

用．从战国时代的著作《考工记》中也可以看到与手工业制作有关的

实用几何知识．

战国时期墨子所写的《墨经》中，对一系列的几何概念进行抽象

概括，作出了科学的定义．《周髀算经》与刘徽的《海岛算经》则给

出了用矩观测天地的一般方法与具体公式．在《九章算术》及刘徽注

解的《九章算术》中，除勾股定理外，还提出了若干一般原理