高中数学必修三古典概型的几种解题技巧 .pdfVIP

高中数学必修三古典概型的几种解题技巧

1、排列组合问题

古典概型中的排列组合问题是指从n个不同元素中取r个元素，考虑元素之间的排

列或不考虑排列，求其组合数或排列数。

1.1组合数

设有n个不同元素，则从中取出r个元素的组合数为C(n,r)。其计算公式为：

C(n,r)=n!/(r!×(n-r)!)

例如，从5个不同字母中取出3个，不考虑排列方式，其组合数为：

C(5,3)=5!/(3!×2!)=10

1.2排列数

2、二项式定理

二项式定理是代数中的重要定理，它可以将一个二项式的幂展开为多项式。二项式定

理可以推广到实数、复数或矩阵等范畴中，但本文中仅考虑其在古典概型中的应用。

2.1二项式定理的基本形式

(a+b)^n=C(n,0)×a^n+C(n,1)×a^(n-1)b+⋯+C(n,k)×a^(n-k)b^k+⋯+C(n,n)×b^n

其中，a、b是任意实数，n是任意非负整数，C(n,k)为组合数。

二项式定理可以用于求和式，其中最常见的是求幂和式，例如：

1+2+3+⋯+n=?

分析该式，可将其改写为：

再利用二项式定理，展开为多项式：

(1+1)^2-(1^2)=2^2-(2^2)+3^2-(3^2)+⋯+n^2-(n-1)^2

整理后得到：

当从n个元素中取出r个元素，并排列时，元素可重复，其排列数为n^r。

4^3=64

4、贝努利试验和二项分布

贝努利试验是实验条件非常简单的一类随机试验，其特点是只有两个可能的结果，例

如正反面、违法合法等。二项分布是指对n次独立的贝努利试验中，成功次数的统计分

布。

4.1贝努利试验

在贝努利试验中，设试验只有两个可能的结果，其中一个记作成功，发生的概率为p，

另一个记作失败，发生的概率为q=1-p。

则进行n次独立的贝努利试验，设成功的次数为X，则X的可能取值为0到n，

其分布律为：

P(X=k)=C(n,k)×p^k×(1-p)^(n-k)，k=0,1,2,⋯,n

其中P(X=k)表示成功k次的概率，C(n,k)表示从所有试验中取出k次成功的组

合数。

4.2二项分布

贝努利试验的二项分布是二项式日常生活中应用很广泛的一种概率分布。将二项式定

理应用于贝努利试验中，得到二项分布的概率分布式：

例如，假设某个商品在一批次的生产中，有5%的次品率。对于500个商品的生产

批次，预计有3个次品，概率为：

P(3)=C(500,3)×0.05^3×(1-0.05)^(500-3)≈0.174

因此，可以预计有3个次品的概率约为17.4%。