2025年高中数学人教A版选择性必修1同步复习资料 专题2.13 直线与圆的位置关系-重难点题型精讲（学生版）.pdfVIP

专题2.13直线与圆的位置关系-重难点题型精讲

1．直线与圆的位置关系及判定方法

(1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下：

(2)直线与圆的位置关系的判定方法

①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的

实数解，即0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即0，则直线与圆相切；若无实数解，即0，

则直线与圆相离.

②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当dr时，直线与圆相交；当dr时，直线

与圆相切；当dr时，直线与圆相离.

2．圆的切线及切线方程

(1)自一点引圆的切线的条数：

①若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；

②若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；

③若点在圆内，则过此点不能作圆的切线.

(2)求过圆上的一点的圆的切线方程：

①求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求

得切线方程.如果k0或k不存在，则由图形可直接得切线方程.

②重要结论：

a.经过圆上一点P的切线方程为.

b.经过圆上一点P的切线方程为.

c.经过圆+Dx+Ey+F0上一点P的切线方程为

.

3．圆的弦长问题

设直线l的方程为ykx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种：

(1)几何法

如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：.

(2)代数法

将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B.

①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解.

②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元

二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或

叫作弦长公式.

4．解与圆有关的最值问题

(1)利用圆的几何性质求最值的问题

求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线.

①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为ADr+d.其中r为圆的半径，d

为圆心到直线的距离；

②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD2r；

③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BDd-r，最大距离为ADd+r.

(2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围)问题

解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选

用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几

何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径.

①形如u的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.

②形如tax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.

③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.

(3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦.

5．直线与圆的方程的应用

(1)解决实际问题的步骤：

(2)建系原则

建立适当的平面直角坐标系要把握两个原则：

①对称性原则.可以选择对称中心为坐标原点，对称轴所在的直线为坐标轴.到两个定点的距离问题，可

以选择两个定点所在的直线以及线段的垂直平分线为坐标轴等.有两条相互垂直的直线的问题则可选其为坐

标轴.

②集中性原则.可以让曲线上尽可能多的特殊点在坐标轴上.如与三角形有关的问题，可以考虑将三角形

的三个顶点全