2025年高中数学人教A版选择性必修2同步复习资料 专题5.5 导数在研究函数中的应用（重难点题型精讲）（教师版）.pdfVIP

专题5.5导数在研究函数中的应用（重难点题型精讲）

1．函数单调性和导数的关系

(1)函数的单调性与导函数f(x)的正负之间的关系

①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f(x)0，那么函数yf(x)在区间(a,b)上单调递增；

②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f(x)0，那么函数yf(x)在区间(a,b)上单调递减.

③如果在某个区间(a,b)内恒有f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间上是一个常数函数.

(2)函数值变化快慢与导数的关系

一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时，

函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范

围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些.

常见的对应情况如下表所示.

2．函数的极值

极值的相关概念

(1)极小值点与极小值：

如图，函数yf(x)在点xa处的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0，而且在点

xa附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则把点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值.

(2)极大值点与极大值：

如图，函数yf(x)在点xb处的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0，而且在点

xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则把点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值.

(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.

3．函数的最大值与最小值

(1)一般地，如果在区间[a,b]上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值，

并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最

小值分别在两个端点处取得.

(2)函数的极值与最值的区别

①极值是对某一点附近(即局部)而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的.

②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个.

③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点.

4．导数在解决实际问题中的应用

①利用导数解决实际问题时，常常涉及用料最省、成本(费用)最低、利润最大、效率最高等问题，求解

时需要分析问题中各个变量之间的关系，抓主元，找主线，把“问题情境翻译为数学语言，抽象成数学问题，

再选择合适的数学方法求解，最后经过检验得到实际问题的解.

②解决优化问题的方法并不单一，运用导数求最值是解决这类问题的有效方法，有时与判别式、基本

不等式及二次函数的性质等结合，多举并用，达到最佳效果.

③利用导数解决实际问题的一般步骤

【题型1利用导数求单调区间】

【方法点拨】

利用导数求函数f(x)单调区间的步骤

(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f(x)；(3)解不等式f(x)0，函数在解集与定义域的交集上为增函数；

(4)解不等式f(x)0，函数在解集与定义域的的交集上为减函数.

【例1】（2022·吉林·高三阶段练习（理））函数=2−5ln−4的单调递减区间是（）

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A．0,3B．3,+∞C．,+∞D．0,

22

【解题思路】确定函数定义域，求出函数的导数，根据导数小于0，即可求得答案.

【解答过程】由题意函数=2−5ln−4的定义域为(0,+∞)，

525255

=2−=，当=0时，0，