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自考试卷及答案解析浙江微分几何试题及答案解析（全新整理）1月

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浙江省2018年1月高等教育自学考试

微分几何试题

课程代码：10022

一、判断题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）

判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”。

1.曲线r=r(s)为一般螺线的充要条件为(?r,??,?

)=0.()

2.若给出闭区间上的任意两个连续函数?φ(s),Ψ(s),则必存在曲线以φ(s),Ψ(s)分别为它的曲率和挠率.()

3.不存在两条不同曲线,使得一条曲线的切线都是另一曲线的切线.()

4.曲面上的曲纹坐标网为曲率线网的充要条件为F=M=0.()

5.曲面上的曲线为曲率线的充要条件为沿此曲线的主法线组成一可展曲面.()

6.若曲面的第一基本形式为I=du2+G(v)dv2,则u曲线是测地线,v曲线不是测地线.()

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1.若向量函数(t)满足(t)×′(t)=，则(t)具有固定的__________.

2.曲线r=r(t)的正常点是指满足__________的点.

3.曲率是空间曲线的切向量对于__________的旋转速度.

4.椭圆点对应的杜邦指标线是椭圆,双曲点对应的是一对共轭双曲线,抛物点对应的是

__________.

5.平均曲率H=0的曲面称为__________曲面.

6.曲面上的直线必是__________,也是测地线.

三、完成下列各题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

1.求曲线r={tsint,tcost,tet}在原点的副法线方程.

2.求曲线r={tcost,tsint,23

2t3

2}在0≤t≤1之间的弧长.3.证明曲线r(t)={cosαcost,cosαsint,tsinα}(α为常数)中的参数t是自然参数.

4.证明曲面={u,v,f(u,v)}上任意点都是正则点.

5.求曲面={u2+v2,u2-v2,uv}的第一基本形式.

6.证明直纹面r={ucosv,usinv,f(v)+au}(f不是常数)不是可展曲面.

四、完成下列各题（本大题共4小题，每小题10分，共40分）

1.求曲线r={t-sint,1-cost,t}在任意点的曲率和挠率.

2.若两条不同曲线Γ、的在对应点的副法线重合,则它们都是平面曲线.

3.证明曲面的坐标曲线的二等分角轨线的微分方程为Edu2=Gdv2.

4.计算悬链面r={coshucosv,coshusinv,u}的平均曲率.

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