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专题06圆与线段长度
1．如图，四边形ABCD内接于eO，对角线AC、BD相交于点F，AC是eO的直径，延
长CB到点E，连接AE，ÐBAE=ÐADB，AN^BD，CM^BD，垂足分别为点N、
M．
（1）证明：AE是eO的切线；
（2）试探究DM与BN的数量关系并证明；
（3）若BD=BC，MN=2DM，当AE=2时，求OF的长．
【解答】（1）证明：QAC是eO的直径，
\ÐADC=90°，
\ÐADB+ÐBDC=90°，
QÐBAC=ÐBDC，ÐBAE=ÐADB，
\ÐBAE+ÐBAC=90°，即ÐCAE=90°，
\AE^AC，
AE是eO的切线；
（2）解：DM=BN，理由如下：
QAN^BD，CM^BD，ÐADC=90°，
\ÐAND=ÐANB=ÐDMC=ÐADC=90°，
\ÐADN+ÐMDC=ÐMCD+ÐMDC=90°，
\ÐADN=ÐMCD，
\DDMC∽DAND，
DMCD
\=，
ANAD
QÐABN=ÐACD，ÐANB=ÐADC=90°，
\DADC∽DANB，
ADCDBNCD
\=，即=，
ANBNANAD
DMBN
\=，
ANAN
\DM=BN；
（3）解：由（2）知DM=BN，则BM=DN，
设DM=BN=a，
QMN=2DM，BD=BC，
\MN=2a，BM=DN=3a，BD=BC=4a，
QÐBMC=90°，
\CM=BC2-BM2=(4a)2-(3a)2=7a，
QAC是eO的直径，AN^BD，
\ÐABC=ÐAND=90°，
QÐADB=ÐACB，
\DADN∽DACB，
ANDN3a3
\===，
ABBC4a4
设AN=3b，AB=4b(b0)，
QÐANB=ÐABC=90°，BN=a，
\AN2+BN2=AB2，即(3b)2+a2=(4b)2，
7
解得：b=a，
7
3747
\AN=a，AB=a，
77
QBC=4a，
224722814
\AC=AB+BC=(a)+(4a)=a，
77
BC4a14
\cosÐACB=cosÐADB=cosÐEAB===，
AC8144
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