第12讲 5.7三角函数的应用（原卷版）.docx

第12讲5.7三角函数的应用

课程标准

学习目标

①掌握三角函数的图象与解析式之间的对应问题的处理方法。

②能结合实际生产与生活中与三角函数之间的密切关系，用三角函数这一数学模式解决与之相关的问题。

③能处理三角函数相关学科之间的问题，用三角函数这一重要工具解决与数学、物理学及其它学科与之相关联的问题。

④掌握数学建模的重要方法与步骤，并能严谨的应用数学知识解决问题。

掌握常见的三角函数应用问题的处理方法，了解并掌握数学建模的方法与步骤，能处理与三角函数相结合的数学问题、物理问题及与之相关的其它学科与生产、生活有密切联系的问题

知识点一：函数(,)中,各参数的物理意义

振幅

它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离?

周期

它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间?

频率

它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数

相位

时的相位称为初相?

知识点二：应用三角函数模型解决问题的一般程序

应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为数学问题,通过分析它的变化趋势,确定它的周期,从而建立起适当的三角函数模型,解决问题的一般程序如下:?

(1)审题,先审清楚题目条件、要求、理解数学关系.

(2)建模,分析题目特性,选择适当的三角函数模型.

(3)求解,对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论.

(4)还原,把数学结论还原为实际问题的解答.

题型01三角函数模型在物理学中的应用

【典例1】（2023秋·江苏扬州·高三扬州中学校考阶段练习）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系为，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，，且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为（????）

??

A． B． C．1s D．

【典例2】（2023秋·高一单元测试）如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时秒，经过秒后，水斗旋转到点，设的坐标为，其纵坐标满足，则下列叙述错误的是（????）

??

A．、、

B．当时，点到轴距离的最大值是

C．当时，函数单调递减

D．当时，

【典例3】（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）如图，一根绝对刚性且长度不变?质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏.让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动，沙漏摆动时离开平衡位置的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系，若函数在区间上的最大值为，最小值为，则的最小值为.

????

【典例4】（2023春·高一单元测试）已知质点从开始，沿以原点为圆心，2为半径的圆作匀速圆周运动，质点运动的角速度为ω弧度/秒()，经过x秒，质点运动到点P，设点P的纵坐标为y，令，将的图象向左平移2个单位长度后图象关于y轴对称．

(1)求函数的解析式；

(2)求函数的单调递减区间及上的最值．

【变式1】（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期中）如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动．若线长为lcm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是，取，如果沙漏从离开平衡位置到下一次回到平衡位置恰用0.5s，则线长约为（????????）cm．（精确到0.1cm）

A．12.7 B．25.3 C．101.3 D．50.7

【变式2】（多选）（2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）单摆是一种简谐运动，摆球的运动情况可以用三角函数表达为，，，其中x表示时间（s），y表示位移（cm），A表示振幅，表示频率，φ表示初相位.如图甲某个小球做单摆运动，规定摆球向右偏移的位移为正，竖直方向为平衡位置.图乙表示该小球在秒运动时的位移随时间变化情况.根据秒表记录有：当时，小球第一次到平衡位置；当时，小球的位移第一次到反向最大值.根据以上图文信息，下列选项中正确的是（????）

??

A．频率为

B．初相位或

C．振幅

D．当时，小球第三次回到平衡位置

【变式3】（2023·重庆·统考模拟预测）已知某弹簧振子的位移（单位：cm）与时间（单位：s）满足，初始时将弹簧振子下压至后松开，经过测量发现弹簧振子每10s往复振动5次，则在第45s时，弹簧振子的位移是cm.

【变式4】（2023·全国·高一假期作业）已知挂在弹簧下方的小球上下振动，小球在时间t（单位：s）时相对于平衡位置（即静止