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高等代数习题及答案

篇一：高等代数试题及答案

中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷

共2页第2页

五(10分)证明：设A为n级矩阵,g(x)是矩阵A的最小多项

式,则多项式f(x)以A为根的充要条件是g(x)|f(x).

六(10分)设V是数域P上的n维线性空间,A,B是V上的线

性变换，且ABBA.证明:B的值域与核都是A的不变子空间.

a

七(10分)设2n阶矩阵A

b

ab

ba

b

,ab,求A的最小多项式.a

八(10分)设f是数域P上线性空间V上的线性变换,多项式

－1－

px,qx互素,且满足pfqf

0(零变换)

,S

kerqf

求证：VWS,Wkerpf

中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试学院(A卷)

答案

一.判断题1.×2.×3.×4.√5.√二.解：

1A=1

11

1111

1111

1111

3

，｜EA|(4)，所以特征值为0，4（3重）.

将特征值代入，求解线性方程组(EA)x0，得4个线性无关的

特征向量（答案可以不唯一），再正交单位化，得4个单位正交

向量：1＝(

12,12,112,2)，2＝(-0,0)，

3＝(-

－2－

0)，4＝(-

6

6

6

2

.

1

2611

1所以正交阵T

2

64

0

1而TAT0

20

612

2

三.证：(1)A,BM.验证AB,kAM即可.01

1

(2)令D

0En1

－3－

10，D为循环阵，E1

1

0

Dk

0E

nk

Ek

0，(Ek为k阶单位阵)

则D,D2

,,Dn1

,Dn

E在P上线性无关.

.0

且Aa1Ea2Dan1Dn2anDn1，令f(x)a1a2xanxn1,有

Af(D).

BM，必P上n1次多项式g(x)，使Bg(D)，反之亦真.

ABf(D)g(D)g(D)f(D)BA

(3)由上可知：E,D,D2,,Dn1是M的一组基，且dimMn.四.

解：A的行列式因子为D3()(2)3,D2()D1()1.

所以，不变因子为d3()(2)3,d2()d1()1，初等因子为(2)3，

－4－

2

因而A的Jordan标准形为J1

2

21

五．证：:f(x)g(x)q(x)

：f(A)0,g(A)0

f(A)g(A)q(A)0

设f(x)g(x)q(x)r(x),r(x)0或(r(x))(g(x)).所以0＝

f(A)g(A)q(A)r(A),因而r(A)0.因为g(x)为最小多项式，所以

r(x)0.g(x)|f