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2021春下【52讲义】双一流班第8讲空间的垂直问题

答案解析

1

考点：线面垂直的判定与性质

线面垂直

例题1

如图，在三棱锥中，，，为的中

P−ABCABBC=22PAPBPCAC=4OAC

点．

证明：PO⊥平面ABC．

【解析】证明：连接BO，

∵ABBC=22，O是AC的中点，

∴BO⊥AC，且BO=2，

又PAPCPBAC=4，

∴PO⊥AC,PO=23，

则PB2PO2+BO2，

则PO⊥OB，

∵OB∩ACO，

∴PO⊥平面ABC．

例题2

如图，在棱长为a的正方体ABCD−ABCD中，

1111

证明：B1D⊥平面A1BC1．

【解析】证明：易证AC⊥平面DBBD，∴AC⊥BD，同理可证AB⊥BD，

111111111

又AC∩ABA，∴BD⊥平面ABC．

1111111

例题3

如图，在三棱锥S−ABC中，SA⊥底面ABC，∠ABC=90∘，且SAAB，点M是SB的中

点，AN⊥SC且交SC于点N．

求证：SC⊥平面AMN．

【解析】证明：∵SA⊥底面ABC，

∴BC⊥SA，∵BC⊥AB，且SA∩ABA，

∴BC⊥平面SAB，

∴BC⊥AM，

又∵SAAB，M是SB的中点，

∴AM⊥SB，

又BC∩SBB，

∴AM⊥平面SBC，

∴SC⊥AM，

又AN⊥SC，AM∩ANA，

∴SC⊥平面AMN．

达标检测1

下列五个正方体图形中，l是正方体的一条体对角线，点M、N，P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥

平面MNP的图形的个数有()

A.1

B.2

C.3

D.4

【答案】C

【解析】解：①④⑤满足题意，故选C．

线线垂直

例题4

已知四棱锥P−ABCD，底面ABCD为菱形，PDPB，H为PC上的点，过AH的平面分别交

PB，PD于点M，N，且BD//平面AMHN．

证明：MN⊥PC；

【解析】ACBDO

证明：连接交于，

四边形为菱形，，且为，的中点，

∵ABCD∴BD⊥ACOACBD

∵PDPB，∴PO⊥BD．

∵AC∩POO，且AC，PO⊂平面PAC．

∴BD⊥平面PAC．

∵PC⊂平面PAC，∴BD⊥PC．

∵BD//平面AMHN，且平面PBD∩平面AMHNMN，∴DB//MN．

∴MN⊥PC．

达标检测2

如图，PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD是菱形，下列结论中不正确的是()

A.PA⊥BD