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定积分的概念
我们可以用大大小小的矩形将图
形不断填充，但闪烁部分永远不可能恰好为矩形，这些“边角余料”无外乎是右图所示的“典型图形”
问题探究定积分的概念
怎样求不规则图形的面积?
(必要时可旋转)
x=1,y=0所围成的平面图形的面积A.
曲边三角形
y=
问题探究定积分的概念
(阿基米德问题):求由抛物线y=x²与直线
Archimedes,约公元前287年—约公元前212年
穷竭术
《高等数学》
A
0
0
2
矩形面积之和
S⁴=yh+y₂h
《高等数学》
→X
1
A≈S*
1分割
(化整为零)
2近似代替
定积分的概念
y
3求和
(积零为整)
问题探究
误差
J₃
y₁
0
2
S°=y₁h+y₂h+J₃h+y₄h
1分割
(化整为零)
2近似代替
3求和
(积零为整)
X
1
减少的误差
问题探究
A≈S*
《高等数学》
3
4
定积分的概念
→X
1
问题探究
0
《高等数学》
定积分的概念
→X
1
问题探究
y
0
《高等数学》
定积分的概念
→X
1
问题探究
1
《高等数学》
28
0
定积分的概念
直观地看，
小矩形越多，其面积和就越接近于所求曲线下方的面积。
0
48个小矩形面积之和
S°=y₁h+J₂h+…+J48h
如何求此面积的精确值
问题探究
y
取极限
《高等数学》
→X
3
1
怎样求曲边梯形的的面积?
y=f(x)
曲边梯形由连续曲线12
y=f(x)(f(x)0)
0X
《高等数学》
x轴与两条直线x=a、
x=b所围成.
问题探究
定积分的概念
A=?
J
STEP1:分割
(化整为零)
在区间[a,b]中任意插入n-1个分点
a=XoX₁Xn-1
用直线x=x;将曲边梯形分成n个小曲边梯形；《高等数学》
定积分的概念
y=f(x)微元法
问题探究
在第i个窄曲边梯形上任取x;,xi+1作以[xi,xi+1]为底，
f(5i)为高的小矩形，以小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形
《高等数学》
STEP2:取近似值
(以常代变)
问题探究
定积分的概念
△
v
STEP3:求和
(积零为整)
分割越细，小矩形的面积之和
越接近曲边梯形的面积
《高等数学》
定积分的概念
y=f(x)
问题探究
不断增加分割点数目
《高等数学》
问题探究
定积分的概念
定积分的概念
y=f(x)
STEP4:取极限
X
问题探究
y
a
抛光磨平
《高等数学》
求和
(积零为整)
问题探究
近似
(以常带变)
分割
(化整为零)
曲边梯形的面积
定积分的概念
《高等数学》
取极限
区间2,·
任取
二、定积分的概念
定义设函数
],作乘
《高等数学》
0=
夕x口
寸
记
上有定义，任取分点
定积分的概念
新知识
当入→0时，上述和式的极限存在，则称此极限值
为函数f(x)在区间[a,b上的定积分，记
即
此时称f(x)在[a,b]上可积
《高等数学》
定积分的概念
新知识
定积分仅与被积函数及积分区间有关，而与积分
变量用什么字母表示无关，
《高等数学》
积分和
积分变量
被积表达式
被积函数
新知识
积分上限[a,b]称为
积分区间
定积分的概念
im
积分下限
由抛物线
的平面图形的面积
[0,1]上的定积分，
曲线f(x)(f(x
所围成的曲边梯形面积
的定积分，即
V
12
XQ7
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