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球与柱体
规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以
外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后
考查几何体的体积或者表面积等相关问题.
通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面
图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置
关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面
问题。
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1.1球与长方体
长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切
球.设长方体的棱长为
其体对角线为.当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外
接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径
2球与锥体
规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分
的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高
产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.
2.1球与正四面体
正四面体作为一个规则的几何体，它既存在外接球，也存在内切球，并且
两心合一，利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长关系。
2.2球与三条侧棱互相垂直的三棱锥
球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题，主要是体现在球为三棱锥的外
接球.解决的基本方法是补形法，即把三棱柱补形成正方体或者长方体。常
见两种形式:
一是三棱锥的三条棱互相垂直且相等，则可以补形为一个正方体，它的外
接球的球心就是三棱锥的外接球的球心。
2.3球与正棱锥
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球与正棱锥的组合，常见的有两类，
一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图
的特点，可以构造直角三角形进行求解.
二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面
相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径
.这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解
决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.
2.4球与特殊的棱锥
球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利用
截面法、补形法、等进行求解。
例如，四面体都是直角三角形的三棱锥，可利用直角三角形斜边中点几何
特征，巧定球心位置。
3球与球
对个多个小球结合在一起，组合成复杂的几何体问题，要求有丰富的空间
想象能力，解决本类问题需掌握恰当的处理手段，如准确确定各个小球的
球心的位置关系，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平面问题求解.
4球与几何体的各条棱相切
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球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到
明确球心的位置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解.
综合上面的四种类型，解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转
体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，则
作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作;把一个多面体的几个顶点放
在球面上即为球的内接问题.解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球
心到多面体的顶点的距离等于球的半径.发挥好空间想象力，借助于数形结
合进行转化，问题即可得解.如果是一些特殊的几何体，如正方体、正四面
体等可以借助结论直接求解,此时结论的记忆必须准确.
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