2025年高中数学人教A版选择性必修1同步复习资料 专题3.13 直线与抛物线的位置关系-重难点题型精讲（学生版）.pdfVIP

专题3.13直线与抛物线的位置关系-重难点题型精讲

1．直线与抛物线的位置关系

(1)直线与抛物线的三种位置关系：

(2)设直线l:ykx+m，抛物线:2px(p0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程

.

①若k≠0，当0时，直线与抛物线相交，有两个交点；

当0时，直线与抛物线相切，有一个交点；

当0时，直线与抛物线相离，无交点.

②若k0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.

因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.

2．弦长问题

设直线与抛物线交于A,B两点，则

|AB|或

|AB|(k为直线的斜率，k≠0).

3．抛物线的焦点弦问题

抛物线2px(p0)上一点A与焦点F(,0)的距离为|AF|，若MN为抛物线2px

(p0)的焦点弦，则焦点弦长为|MN|++p(,分别为M,N的横坐标).

设过抛物线焦点的弦的端点为A,B，则四种标准方程形式下的弦长公式为：

4．抛物线的切线

过抛物线2px(p0)上的点P的切线方程是.

抛物线2px(p0)的斜率为k的切线方程是(k≠0).

5．直线与抛物线中的最值问题

求与抛物线有关的最值的常见题型是求抛物线上一点到定点的最值、求抛物线上一点到定直线的最值，

解与抛物线有关的最值问题主要有两种思路：一是利用抛物线的定义，进行到焦点的距离与到准线的距离

的转化,数形结合，利用几何意义解决；二是利用抛物线的标准方程，进行消元代换，得到有关距离的含变

量的代数式，借助目标函数最值的求法解决.

6．抛物线有关的应用问题

(1)解答与抛物线有关的应用问题时，除了要准确把握题意，了解一些实际问题的相关概念，同时还要

注意抛物线的定义及性质、直线与抛物线的位置关系的灵活应用.

(2)实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着的变量范围.

【题型1判断直线与抛物线的位置关系】

【方法点拨】

结合具体条件，根据直线与抛物线的三种位置关系，进行判断，即可得解.

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【例1】（2022·全国·高二课时练习）直线=−1+2与抛物线=4位置关系为（）

A．相交B．相切C．相离D．不能确定

2

【变式1-1】（2022·全国·高二课时练习）已知直线l过点(0,−4)，且与抛物线=8且只有一个公共点，

则符合要求的直线l的条数为（）条

A．0B．1C．2D．3

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【变式1-2】（2021·全国·高二专题练习）抛物线=20的焦点为F，A为准线上一点，则线段FA

的中垂线与抛物线的位置关系为（）

A．相交B．相切

C．相离D．以上都有可能

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【变式1-3】（2021·全国·高二专题练习）已知抛物线C：y＝a（x+1）﹣3过圆C：x+y+4x﹣2y＝0的圆

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心，将抛物线C先向右平