2025年高中数学人教A版选择性必修1同步复习资料 专题2.11 圆的方程-重难点题型精讲（教师版）.pdfVIP

专题2.11圆的方程-重难点题型精讲

1．圆的定义

圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径).

圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.

2．圆的标准方程

(1)圆的标准方程：方程(r0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程.

(2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径.

(3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此

在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程.

3．圆的一般方程

(1)方程叫做圆的一般方程.

(2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因

此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程.

下列情况比较适用圆的一般方程：

①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F；

②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线

方程，求待定系数D，E，F.

4．二元二次方程与圆的方程

(1)二元二次方程与圆的方程的关系：

二元二次方程，对比圆的一般方程

，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的

方程.

(2)二元二次方程表示圆的条件：

二元二次方程表示圆的条件是

5．点与圆的位置关系

(1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外.

(2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为

.平面内一点.

6．与圆有关的对称问题

(1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称.

(2)圆关于点对称

①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.

②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点.

(3)圆关于直线对称

①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.

②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线.

7．与圆有关的最值问题

(1)与圆的代数结构有关的最值问题

①形如t形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；

②形如tax+by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；

③形如t形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.

(2)与圆的几何性质有关的最值问题

①记C为圆心，r为圆的半径，则圆外一点A到圆上距离的最小值为|AC|-r，最大值为|AC|+r；

②过圆内一点的最长弦为圆的直径，最短弦是以该点为中点的弦；

③记圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，直线与圆相离，则圆上的点到直线的最大距离为d+r，最

小距离为d-r；

④过两定点的所有圆中，面积最小的圆是以这两个定点为直径端点的圆.

【题型1圆的方程的求法】

【方法点拨】

(1)圆的标准方程的求法

①直接代入法：已知圆心坐标和半径大小，直接代入求圆的标准方程.​​​​​​​

②待定系数法：圆的标准方程中含有三个参变量，必须具备三个独立的条件才能确定出圆的方程当已知曲.

线为圆时，一般用待定系数法，即列出关于a,b,r的方程组，求出a,b,r.

(2)圆的一般方程的求法

待定系数法：①设：根据题意设出圆的一般方程；

②列：根据已知条件，建立关于D,E,F的方程组；③解：解方程组，求出D,E,F的值.

【例1】（2022·江苏·高二课时练习）经过三个点0,0),23,0),0,−2)的圆的方程为