2025年高中数学人教A版选择性必修1同步复习资料 专题1.9 空间向量的应用-重难点题型精讲（学生版）.pdfVIP

专题1.9空间向量的应用-重难点题型精讲

1．空间中点、直线和平面的向量表示

(1)空间中点的位置向量：如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以

→→

OPOP

用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量．

(2)空间中直线的向量表示式：直线l的方向向量为a，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可

→→→→→→

以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OP＝OA＋ta①，把AB＝a代入①式得OP＝OA＋tAB②，

①式和②式都称为空间直线的向量表示式．

2．空间中直线、平面的平行

(1)线线平行的向量表示：设u，u分别是直线l，l的方向向量，则l∥l⇔u∥u⇔∃λ∈R，使得u

121212121

＝λu.

2

(2)线面平行的向量表示：设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n

＝0.

(3)面面平行的向量表示：设n，n分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n∥n⇔∃λ∈R，使得n＝λn.

121212

3．空间中直线、平面的垂直

(1)线线垂直的向量表示：设u，u分别是直线l,l的方向向量，则l⊥l⇔u⊥u⇔u·u＝0.

1212121212

(2)线面垂直的向量表示：设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ

∈R，使得u＝λn.

(3)面面垂直的向量表示：设n，n分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n⊥n⇔n·n＝0.

121212

4．距离问题

(1)点P到直线l的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，

→→

22

APAQa－a·u

设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为(如图)．

(2)点P到平面α的距离：设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平

→

面α的距离为|AP·n|(如图)．

|n|

5．夹角问题

(1)两个平面的夹角：平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面

角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．

(2)空间角的向量法解法

角的分类向量求法范围

设两异面直线l，l所成的角为θ，其方向向量

两条异面直12

π