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应用随机过程课件

前言

第1章预备知识

1.1概率空间

在自然界和人类的活动中经常遇到各种各样的现

象，大体上分为两类：必然现象和随机现象。

具有随机性的现象—随机现象

对随机现象的观察或为观察而进行的实验

（有3个特征）—随机试验

随机试验的结果—基本事件或样本点。记作

所有可能的结果称为样本空间。记作

的子集A由基本事件组成—A称为事件。

事件的性质假设A,B,C是任意事件，则他们满足：

(1)交换律ABBA

(2)结合律A(BC)(AB)C

A(BC)(AB)C

(3)分配律A(BC)(AB)(AC)

A(BC)(AB)(AC)

(4)对偶原则(DeMorgan律)

ABABABAB

AA

AiAiii

i1i1i1i1

定义1.1设为样本空间，F是中的某些子集

组成的集合族，若满足：

（1）F；

（2）如果AF，则AF；



（3）如果AiF，i1,2,,则AiF.

i1

那么，称F为中的-代数.

(F,)为可测空间，F中的元素称为事件.

性质假设F是中的任一事件-代数，则

(1)F;

nn

(2)若果AiF,i1,2,n,则AiF,AiF;

i1i1



(3)若果AiF,i1,2,,则AiF;

i1

(4)若果A,BF,则ABF,BAF;

（5）-代数必为代数.

例1.1由的一切事件构成的事件类是事件-代数.

(常常它为称为最广泛的-代数.)

例1.2由F{,}，则F是事件-代数。

称作平凡事件-代数.

例1.3对任意事件A,F{,A,A,}

是事件-代数。

思考题：

随机试验:掷一枚骰子，观察出现的点数，

样本空间{1,2,3,4,5,6}，下列事件是否构成

-代数？

(1)事件类F{,,{1,2,3},{3,4,5,6}};

(2)事件类F{,,{1,2,}{3,4},{5,6}};

(3)事件类F{,,{1,3,5}{2,4,6}};

定义1.2对于上任意包含事件A的最小的-代数，

称为事件A生成的-代数，记作(A).

结论：设A是中的一个集系，则包含A的最小的

-代数(A)一定存在.

注：对于中的任意事件类A,必定存在含A的

最小事件-代数，并且等于上包含A的事件-

代数Fi,i1,2,之交，即(A)Fi.

i1

定义1.3

设R,由所有半无限区间(,a)生成的-代数

（即包含{(,a),aR}的最小-代数）,称为R上的

Borel-代数,记作B(R)，其中的元素称为Borel集

合.类似可以定义Rn上的Borel-代数,记作B(Rn).

显然B((,a),aR).

定义1.4设F是定义在