北京市清华大学附属中学朝阳学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（word版，含答案）.docx

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清华大学附属中学朝阳学校2024-2025学年高二上学期期中考试

数学

（清华附中朝阳学校望京学校）2024年11月

一、单选题（每小题5分，共50分）

1．直线的倾斜角是（???）

A． B． C． D．

2．双曲线的焦点坐标是（????）

A．, B．,

C．, D．,

3．平行六面体中，为与的交点，设，用表示，则（????）

A． B．

C． D．

4．设双曲线的渐近线方程为，则的值为（??）

A．4 B．3 C．2 D．1

5．圆与圆的位置关系是（????）

A．内切 B．相交 C．外切 D．外离

6．若数列an满足，且，则（???）

A． B．2 C． D．

7．已知圆，直线过点，则直线被圆截得的弦长的最小值为（）

A． B． C． D．

8．已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（????）

A．9 B．10 C．11 D．12

9．已知点F是双曲线的一个焦点，直线，则“点F到直线的距离大于1”是“直线与双曲线C没有公共点”的（????）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

10．如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，给出下列四个结论：

??

①当点是中点时，直线平面；②直线到平面的距离是；

③存在点，使得；④面积的最小值是．

其中所有正确结论的个数是（????）

A．3 B．2 C．1 D．0

填空题（每小题5分，共30分）

11．已知抛物线C：，则抛物线C的准线方程为．

12．若双曲线的焦距是，则实数．

13．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则；双曲线的渐近线方程是．

14．若数列的前项和，则此数列的通项公式为；数列中数值最小的项是第项．

15．已知直线与曲线的图象有公共点，则实数的一个取值为；实数的最大值为．

16．已知曲线，点在曲线上，给出下列四个结论：

①曲线关于直线对称：②当时，点不在直线上：

③当时，；④当时，曲线所围成的区域的面积大于.

其中所有正确结论的有．

三、解答题（共5个小题，共70分）

17．（本小题满分13分）在直四棱柱中，，，，，

(1)求证：平面；

(2)若直四棱柱体积为36，求二面角的余弦值.

18．（本小题满分15分）已知椭圆的离心率为，长轴端点分别为，，.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)，为椭圆的焦点，为椭圆上一点，且.求点的坐标；

(3)为椭圆上任意一点（不与、重合），设直线的斜率为，直线的斜率为，判断是否为常数，并说明理由.

19．（本小题满分13分）如图，在多面体中，为等边三角形，，.点为的中点，再从下面给出的条件①?条件②这两个条件中选择一个作为已知.??

(1)求证：平面；

(2)设点为上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值.

条件①：平面平面；

条件②：.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

20．（本小题满分15分）已知椭圆过点，焦距为.

(1)求椭圆的方程，并求其短轴长；

(2)过点且不与轴重合的直线交椭圆于两点，，连接并延长交椭圆于点，直线与交于点，为的中点，其中为原点.设直线的斜率为，求的最大值.

21（本小题满分14分）．已知集合，，若中元素的个数为，且存在，，使得，则称是的子集.

(1)若，写出的所有子集；

(2)若为的子集，且对任意的，，存在，使得，求的值；

(3)若，且的任意一个元素个数为的子集都是的子集，求的最小值.

参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

C

D

C

C

D

A

C

A

C

题号

16

答案

A

1．D

【分析】由题可得其斜率，即可得倾斜角.

【详解】，

设其倾斜角为，则，又，

则，即倾斜角为，

故选：D

2．C

【分析】先判断出焦点在轴上，再求出焦点坐标即可.

【详解】由双曲线的方程可得该双曲线的焦点在轴上，且，所以该双曲线的焦点坐标为,.

故选：C.

3．D

【分析】利用空间向量的基底表示以及线性运算即可求得结果.

【详解】如下图所示：

易知.

故选：D

4．C

【分析】先根据双曲线求出渐近线方程，再与比较即可求出的值．

【详解】由双曲线的几何性质可得，双曲线的渐近线方程为，又因为渐近线方程为，即，故，选C．

【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属基础题．

5．