高等数学（第二版）课件：函数展开为幂级数.ppt

一、泰勒级数二、函数用直接法展开成幂级数函数展开为幂级数无穷级数三、函数用间接法展开成幂级数一、泰勒级数在上节中，我们研究了求幂级数在收敛区间内的和函数的问题。但在一些实际问题中，往往需要研究它的反问题。即将一个已知函数在某一区间内用一个幂级数表示。就是说，能否找到这样一个幂级数，它在某一区间内收敛，且和函数恰好是给定的函数？若能找到这样的幂级数，就称函数在该区间内能展开成幂级数，称该幂级数为函数的幂级数展开式。若函数在点的某一邻域内具有阶的导数，则在该邻域内的阶泰勒公式成立，其中为拉格朗日余项：这里是介于与之间的某一点。来近似表示，并且其误差为。如果随着的增大而减小，那么我们就可以用增加多项式的次数来提高用来逼近的精度。可以用次多项式例1 设，求在点处的1次、2次、4次、6次、8次泰勒多项式。解：因此在处的2次泰勒多项式为再有，所以在处的1次泰勒多项式为相应地在处的4次、6次、8次泰勒多项式为由上述的讨论可以看到每一个都比前一个在附近能更好地逼近，且每个更高次泰勒多项式都包含了之前的所有的低次泰勒多项式，为此引进泰勒级数。如果在点的某邻域内具有任意阶导数，并记，构造幂级数称此级数为函数在点的泰勒级数。若上式在的某个邻域内的和函数恰好为，则称在处可展成泰勒级数（也称为关于的幂级数）。定理1设函数在点的某一邻域内有任意阶导数，且在点的泰勒级数公式为则在点的某个邻域内可以展开泰勒级数的充分必要条件是对于任意的，有（2）由泰勒级数可以知道在点的某一邻域内有任意阶导数的函数都可以从形式上构造出其泰勒级数，当且仅当时，其泰勒级数是收敛的，且其和函数为。注意：（1）在点的幂级数展开式是惟一的，如果设又可以展成，则必有（3）由定理还可以看出，当在可以展成幂级数时，其有限项在点的邻域较好地接近于，但是在其他点近似程度可能不好。（4）当时，的泰勒级数称为的麦克劳林（Maclaurin）级数（也称的幂级数）。这是我们常用的一种泰勒级数形式。所谓直接法展开是指先求出,在判定余项在什么区间上趋于零，从而得到的泰勒展开的一种方法。对函数作泰勒展开除了要写出泰勒级数的表达式外，而且要写出其收敛区间。具体步骤如下：第一步求出的各阶导数第二步计算二、函数用直接法展开成幂级数第三步写出在处的泰勒级数第四步求出上述泰勒级数的收敛区间。第五步考察当在区间内时余项的极限（在0与之间）是否为零。如果为零，则有否则即使收敛，其和函数也不一定为。解：由于因此故的麦克劳林级数为例2将展开为麦克劳林级数其收敛区间为,任取，则对于任何介于0与之间的，有对于给定的，可知有界，而可以看作是收敛级数的一般项，可知有，于是得