换元法解决复杂函数值域问题解析(8)(3).pdf

换元法解决复杂函数值域问题

1.知识总结

值域求法

（Ⅰ）单调性法：适用于能够先判断函数的单调性，可以利用函数在给定的区间

上的单调递增或单调递减求值域。

mxnmxn

（Ⅱ）设k法：适用于分式函数如求值域，令k,通过

22

axbxcaxbxc

判别式大于等于零求出k的范围。

（Ⅲ）换元法：将函数解析式中部分代数式视为整体，换成新元从而简化函数结

构，适用于部分结构影响计算如xx1，可将x1换元为t,从而转化为二

次函数。

2.典型例题

己知函数f(x)x2x,g(x)x(2x）

(1)求函数f(x)的定义域和值域:

(2)若a为非零实数，设函数h(x)f(x)ag(x)的最大值为m(a).

①求m(a):

1

②确定满足m(a)m（）的实数a，直接写出所有a的值组成的集合.

a

解析：

x0

（1）因为f(x)x2x，所以，得x[0,2]

2-x0

又22

f(x)（x2x）22x（2x）

时，x（2x）[0,1]，所以2值域为

x[0,2]f(x)[2,4]

又f(x)0，所以f(x)值域为[2,2]

（2）①，令，则2

h(x)f(x)ag(x)x2xt[2,2]t22x（2x）

22

t2t2

h(x)ta，令F(t)ta,t[2,2]

22

当a0时，开口向上，对称轴在区间左边，m(a)2a

1

当a0时，开口向下，对称轴在区间右边，m(a)2a

2

211

当a时，开口向下，对称轴在区间中，m(a)a

222a

2

当a时，开口向下，对称轴在区间左边，m(a)2

2

2

②a1或a[2,]

2

3.练手

xx

2k2

已知函数f(x).

k

f(x)f(x)[0,)

(1)若为偶函数，求k的值并证明函数在上的单调性；

1