立体几何中的“内切”与“外接”问题的探究(完美版) .pdfVIP

立体几何中的“内切”与“外接”问题的

探究(完美版)

探究立体几何中“内切”与“外接”问题

在立体几何中，我们经常遇到“内切”和“外接”的问题。在

研究这些问题之前，我们需要先明确球心的定义。如果一个定

点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点

就是该简单多面体的外接球球心。

根据上述性质，我们可以得出以下多面体外接球的结论：

1.正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点。

2.正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点。

3.直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线

的中点。

4.正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算

得到。

5.若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则共斜边的

中点就是其外接球的球心。

接下来我们来探究一下正方体和长方体的外接球的问题。

根据结论1，正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的

中点。我们可以利用构造法（补形法）来解决这类问题。例如，

对于一个长方体，如果从一个顶点出发的三条棱长分别为a、

b、c，则体对角线长为√(a^2+b^2+c^2)，几何体的外接球直径

2R为体对角线长l，因此R=√(a^2+b^2+c^2)/2.

举个例子，如果一个三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱

长均为3，则可以将这个三棱锥补成一个棱长为3的正方体，

于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球。设其外接球的半径

为R，则有(2R)^2=3^2+3^2+3^2=27.因此，其外接球的表面积

为S=4πR^2=36π。

另外，对于一个矩形ABCD，如果AB=4，BC=3，沿AC

将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D，则四面体ABCD

的外接球的体积为(125π)/(1296)。

最后，如果出现正四面体外接球的问题，我们可以利用构

造法（补形法），联系正方体。

一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，

则此球的表面积为多少？

解析：由于所有棱长都相等，所以可以构造一个正方体，

再寻找棱长相等的四面体。如图2所示，四面体ABDE满足

条件，即AB=AD=AE=BD=DE=BE=2.由此可求得正方体的棱

长为1，对角线为$\sqrt{3}$，从而外接球的直径也为

$\sqrt{3}$，所以此球的表面积为$4\pi$，故选B。

对于四面体棱长（对棱）相等的情况，可以构造长方体来

求解。例如，对于正四面体，可以构造内接长方体，并利用长

方体的对角线和棱长的关系来求解内切球和外接球的半径。

在解题过程中，需要注意球与棱锥的接切问题。对于正三

棱锥的内切球，可以利用点面距离的等量关系来求解球的半径。

对于正四面体与球的接切问题，可以通过线面关系证出，内切

球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，

即定有内切球的半径$r=\frac{1}{4}h$，且外接球的半径

$R=3r$。

易知正四面体的高等于边长乘以$\frac{\sqrt{2}}{2}$，设

正四面体内切球的半径为$r$，外接球的半径为$R$，则有

$R+r=AH$，其中$AH$为正四面体的高，即

$AH=\frac{\sqrt{2}}{2}a$，$a$为正四面体的边长。又根据球

与四面体的接切关系，可以得到$R=\frac{3}{4}a$，

$r=\frac{1}{4}a$。因此，正四面体内切球的体积为

$\frac{1}{3}\pir^3=\frac{1}{48}\pia^3$。

对于方法二，我们可以通过体积分割的方法来解决。设内

切球的体积为$V_1$，外接球的体积为$V_2$，则有

$V_1+V_2=V_{ABCD}$，其中$V_{ABCD}$为正四面体的体

积。又因为内切球的半径为$\frac{1}{4}a$，外接球的半径为

$\frac{3}{4}a$，所以

$V_1=\frac{1}{3}\pi(\frac{1}{4}a)^3=\frac{1}{192}\pia^3$，

$V_2=\frac{4}{3}\pi(\frac{3}{4}a)^3=\frac{27}{32}\pia^3$。因

此，内切球的体积与外接球的体积之比为