第03讲 基本不等式及其应用（秋季讲义）（人教A版2019必修第一册）（含答案解析）.docx

第03讲基本不等式及其应用

【人教A版2019】

模块一

模块一

基本不等式

1．均值定理

均值定理：如果a、b∈R+(R+表示正实数)，那么eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，当且仅当a=b时，式中等号成立.

此定理又称均值不等式或基本不等式.

2．基本不等式推广：≥eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab).

叫做a和b的平方平均值，eq\f(a＋b,2)叫做算术平均值，eq\r(ab)叫做几何平均值.

3．基本元素为ab，a+b，a2+b2；其中一个为定值，都可以求其它两个的最值.

4．利用基本不等式求最值的条件(1)“一正”：即求最值的两式必须都是正数.

(2)“二定”：要求和a+b的最小值，则乘积ab须是定值；要求乘积ab的最大值，则和a+b须是定值.

特殊情况下，至少要求各项的和、积是一个可化简的定式.

(3)“三相等”：只有满足不等式中等号成立的条件，才能使式子取到最大或最小值.

(4)“四同时”：多次使用基本不等式时，需同时满足每个等号成立的条件.

【题型1基本不等式链】

【例1.1】（23-24高一上·河南·阶段练习）若a，b∈R且ab0，则下列不等式中不恒成立的是（????）

A．a2+b2≥2ab B．a+b≥2ab

【解题思路】用特殊值判断B,根据基本不等式，判断ACD.

【解答过程】解：a2+b

取a=?1,b=?1，此时a+b=?22ab

因为ab0，所以ab0，所以ab

因为ab0，所以ba0,a

故选：B.

【例1.2】（23-24高一上·上海·期中）若实数a、b满足ba0，下列不等式中恒成立的是（????）

A．2a+b2≥2

C．2a+b22

【解题思路】直接由基本不等式验证即可，注意取等条件.

【解答过程】由题意ba0，所以直接由基本不等式可得2a+b

等号成立当且仅当2a=b20，即a=

故选：A.

【变式1.1】（2024高一·全国·课后作业）若a,b∈R+，则在①ba+ab≥2，②1

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【解题思路】根据不等式的性质，以及基本不等式，逐项判定，即可求解.【解答过程】因为a,b∈R

对于①中，由ba+a

对于②中，由(a+b)(1a+

所以1a

对于③中，由不等式a3+b

两边同除ab，可得b2

对于④，由2a

可得a2+b2≥

故选：B.

【变式1.2】（2024高二上·新疆·学业考试）若a,b,c∈R，且ab+bc+ca=1，则下列不等式成立的是（???

A．a2+b

C．a+b+c≥2 D．

【解题思路】选项A，由重要不等式，三个同向不等式相加可得；选项B，由a+b+c2

【解答过程】选项A，∵a2+b2≥2ab

∴2a

∴a2

∴a2+b

选项B，由a2

则a+b+c2

选项C，当b=0,a=c=?1时，ab+bc+ca=1，

但a+b+c=?2，不满足a+b+c≥2

选项D，当a=b=c=33时，

但a+b+c=3，不满足a+b+c≤

故选：B.

【题型2\o由基本不等式比较大小\t/gzsx/zj135331/_blank由基本不等式比较大小】

【例2.1】（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）甲、乙两名司机的加油习惯有所不同，甲每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而乙则说“师傅帮我把油箱加满”，如果甲、乙各加同一种汽油两次，两人第一次与第二次加油的油价分别相同，但第一次与第二次加油的油价不同，乙每次加满油箱，需加入的油量都相同，就加油两次来说，甲、乙谁更合算（????）

A．甲更合算 B．乙更合算

C．甲乙同样合算 D．无法判断谁更合算

【解题思路】根据题意列出甲乙两次加油的平均单价，进而根据不等式即可求解.

【解答过程】设两次的单价分别是x,yx≠y

甲加两次油的平均单价为600300

乙每次加油a升，加两次油的平均单价为ax+ay2a

因为x0，y0，x≠y，

所以1x+1

即甲的平均单价低，甲更合算.

故选：A.

【例2.2】（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知实数a，b，c满足c?b=a+2a?2，c+b=2a2+2a+2a，且a0，则

A．bca B．cba C．acb D．cab

【解题思路】利用基本不等式得到c?b0，两式相减得到b=a2+

【解答过程】因为a0，由基本不等式得c?b=a+2

故cb，

因为c+b=2a2+2a+

2b=2a

故b=a2+

故ba，

所以cba.

故选：B.【变式2.1】（23-24高一上·辽宁朝阳·期中）小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（ab），其全程的平均时速为v，则（????）

A．v=a+b2 B．v=a+b2ab C．

【解题思路】求出平均速度可判断AB；利用基本不等式可判断CD.

【解答过程】设甲乙两地相距s，则平均速度