第04讲 三个“二次”及其拓展（秋季讲义）（人教A版2019必修第一册）.docx

第04讲三个“二次”及其拓展

【人教A版2019】

模块一

模块一

一元二次不等式

1．一元二次不等式

一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c0或ax2＋bx＋c0，其中a，b，c均为常数，a≠0.

2．一元二次不等式的解法

(1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：

①通过对不等式变形，使二次项系数大于零；

②计算对应方程的判别式；

③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；

④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．(2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤：

①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；

②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；

③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．

3．分式、高次、绝对值不等式的解法

(1)解分式不等式的一般步骤：

①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．

②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．

(2)解高次不等式的一般步骤：

高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集.

(3)解绝对值不等式的一般步骤：

对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解.

【题型1解不含参的一元二次不等式】

【例1.1】（24-25高一上·全国·随堂练习）不等式3+5x?2x2≤0

A．x|x3或x?12 B．x|?12

【例1.2】（23-24高一上·辽宁·期中）设x∈R，用x表示不超过x的最大整数，则满足不等式x2+5

A．?7,?2 B．?8,3 C．?7,3 D．?7,?3

【变式1.1】（2024·天津·模拟预测）已知p:x2+2x?30，q:x2+x?20，则

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【变式1.2】（23-24高一上·陕西渭南·期末）已知不等式ax2+bx+20的解集为{x∣x?2或x?1}

A．x?1x12

C．x?1x?12 D．{x∣x?2或x1}【

【例2.1】（23-24高一上·河南开封·期中）关于x的不等式ax2?

A．? B．xx1 C．x1x1

【例2.2】（23-24高一上·山东·阶段练习）不等式ax2?

A．x1a≤x≤1

C．xx≤1a或x≥1 D．

【变式2.1】（2024高一·全国·专题练习）不等式ax2?

A．{x|2a≤x≤1}

C．{x|x≤2a或

【变式2.2】（23-24高一上·浙江台州·期中）不等式ax2+bx+c0的解集为x

A．a+b+c0

B．9a+3b+c0

C．不等式cx2

D．不等式cx2+bx+a0的解集为

【题型3由一元二次不等式的解确定参数】

【例3.1】（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）已知关于x的一元二次不等式ax2+bx?c0的解集为x|3x5，则不等式c

A．xx15或x13

C．x15x

【例3.2】（24-25高一上·上海·随堂练习）若关于x的不等式组x2?x?202x2+(5+2k)x+5k0的整数解只有

A．(1,2) B．[1,2]

C．(1,2] D．[?3,2)

【变式3.1】（23-24高一上·湖北恩施·期末）已知关于x的不等式x2?a+1x+a0恰有三个整数解，则实数a的取值范围是（????）A．

C．?3,?2∪4,5

【变式3.2】（23-24高一上·河南安阳·阶段练习）已知关于x的不等式ax2+bx+c0的解集为x|?1x3

A．b=2a

B．4a+2b+c0

C．不等式ax+c0的解集为x|x3

D．不等式bx2

【题型4其他不等式的解法】

【例4.1】（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）不等式4x?2≤x?2的解集为（

A．?∞,2∪

C．2,4 D．?

【例4.2】（2024·甘肃张掖·模拟预测）不等式x2?3x2?2x

A．?1,12 B．?12,1

【变式4.1】（23-24高一下·全国·课后作业）解下列不等式：

(1)?x

(2)3x?3

(3)3?2x≥

(4)3x?11x

【变式4.2】（24-25高一上·上海·假期作业）求下列不等式的解集.

(1)2x?3

(2)x

(3)2x?3x+21

模块二

模块二

三个“二次”的关系

1．二次函数的零点

一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．

【