第五章-有限元分析平面等参单元.pptVIP

平面矩形单元小结优点：矩形单元的应力、应变为一次线性函数，精度要比三角形三节点高；不足：实际问题很难用4节点矩形单元划分，特别是边界适合性不强；问题：能否构造一种任意四边形单元，则在提高精度得前提下，边界适应性还强？等参单元等参单元（iso-parametricelement）的概念第5章平面等参单元问题：能否利用规则的平面矩形单元的结果来研究不规则的任意四边形单元的计算公式？思路：任意直四边形可看成是正四边形(常称为母元)的变形，由于正四边形（母元）的位移函数、单刚矩阵均已得到，则可利用正四边形单元的结果研究任意四边形。重点：1）构造任意四边形与母元间的坐标（形状）变换关系2）利用坐标变换关系和母元的计算公式，推导任意四边形的单刚矩阵（包括母元位移函数、应变矩阵、刚度矩阵转换过程中的导数、积分计算）（等参数单元就是对单元几何形状和单元内的参变量函数采用相同数目的节点参数和相同的形函数进行变换而设计出的一种新型单元。）等参单元分析范例－平面4节点等参单元1、等参变换（坐标映射）目的：建立矩形母单元与任意四边形单元的坐标映射关系（i=1,2,3,4），已知：求：解法：插值代入4个角点坐标，确定系数。求出待定系数，得其中：i=1,2,3,4同矩形单元位移形函数将四角点的局部坐标代入2、等参单元位移函数从坐标变换可知,等参单元位移与母元间位移仅相差坐标变换式,而母元单元内任意点P的位移函数Ni同矩形单元位移形函数，即与坐标变换形函数相同，故得名等参单元。3、等参单元应变矩阵由几何方程，得新问题：形函数是局部坐标的函数，而局部坐标又是整体坐标的函数，故：3、等参单元应变矩阵称为雅克比矩阵，且3、等参单元应变矩阵4、等参单元应力矩阵5、等参单元刚度矩阵求微小平行四边形面积注：等参单元的刚度积分一般很难有解析式，必须进行数值积分，目前普遍采用高斯数值积分法（略）。dξ，dη在（x，y）系中的分量为等参单元小结1、等参单元存在的充要条件是|J|≠0为了保证能进行等参变换(即总体坐标与局部坐标一一对应)，通常要求总体坐标系下的单元为凸，即不能有内角大于或等于或接近180度情况。2、等参单元的优点是当单元边界呈二次以上的曲线时，容易用很少的单元去逼近曲线边界。3、前述推导要求：保持坐标变换中几何模式阶次与描述单元位移函数中形函数的阶次相同，故被称为等参元。如取坐标变换的几何模式阶次较单元的位移函数的阶次高，则称此单元为超参元，反之，为亚参元。