高等数学（第二版）课件：二重积分的计算法.ppt

假定闭区域的边界与从极点出发穿过的内部的射线的交点不多于两点，或者边界的一部分是射线的一段。在极坐标系中，我们采用两族曲线：常数及常数，即以一族过极点的射线与一族以极点为圆心的同心圆来细分区域。除了包含边界点的一些小闭区域外，小闭区域的面积可计算如下：其中为相邻两圆弧的半径的平均值。在这小闭区域内取圆周上的点设该点的直角坐标为则由直角坐标与极坐标之间的关系有于是这样，直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分的变换公式为要把直角坐标系中的二重积分变换为极坐标系中的二重积分，只要把被积函数中的、分别换成、，并把直角坐标系中的面积元素 换成极坐标系中的面积元素就可以了。一、直角坐标下二重积分的计算二、极坐标下二重积分的计算二重积分的计算法重积分1．垂直型区域一、直角坐标下二重积分的计算设区域D为由介于上下两条自变量为的单值连续曲线与和两条竖直线与之间所构成的，即可表示为且穿过区域D内部平行于轴的直线与D的边界至多交于两点。2．水平型区域且穿过区域D内部平行于轴的直线与D的边界至多交于两点。设区域D为由介于上下两条自变量为的单值连续曲线与和两条竖直线与之间所构成的，即可表示为这种垂直型区域与水平型区域统称为简单区域。按照二重积分的几何意义，等于以区域D为底，以D上曲面为顶的曲顶柱体的体积V。先假设D为垂直型区域。设平行于坐标面且在轴上的截距为()的平面与曲顶柱体相截而成截面的面积为。由“平行截面面积已知的立体体积”计算方法，可知其中为曲边梯形的面积。该曲边梯区间为底，以曲线为顶，所以于是，曲顶柱体体积为把上式右端积分写成在上述讨论中，我们始终假定，但上述计算公式的成立并不受此条件限制。其中积分区域为垂直型区域，为上的连续函数。最后，得到二重积分化为先对、后对的二次积分的公式：类似地，如果积分区域D为水平型区域，为D上的连续函数，可以写出体积V的另一种二次积分的表达式如果积分区域D是非简单区域，即D的边界与穿过D的内部且平行于坐标轴的直线的交点多于两个，则可把D分成若干部分，使每个部分都是简单区域。再在每个区域上用前面两个公式来计算。定理(富比尼定理)设在平面闭区域上连续，（1）若闭区域可表示为：，其中和在上连续，则（2）若闭区域可表示为：，其中和在上连续，则例1计算，其中D是有抛物线和直线所围成的闭区域。解：方法1先画出积分区域D。把区域D看作二个垂直型区域的并集。这时，区域边界的下部是由两条不同的曲线组成的，两条曲线交点为，；因此用直线将D分为和方法2：将区域D是水平型区域，D可表示为所以解由于这个积分的原函数不能表示为一个初等函数，因此无法直接计算，为此我们需要交换积分次序。首先确定积分限例2计算累次积分把变换为故积分例3计算，其中D是由及所围成的区域解：方法1：如图，若把D看作垂直型区域，则