初二数学上学期知识点和典型例题总结.docx

全等三角形

类型一：全等三角形性质的应用

1、如图，△≌△，，写出图中的对应边和对应角.思路点拨:，和是对应边，∠A是公共角，∠A和∠A是对应角，按对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边可求解.解析：和是对应边，和、和是对应边，∠A和∠A是对应角，∠B和∠C，∠和∠是对应角.总结升华：两对对应顶点，则以这两对对应顶点为顶点的角是对应角，第三对角是对应角；再由对应角所对的边是对应边，可找到对应边.两对对应边，第三对边是对应边，对应边所对的角是对应角.举一反三：

【变式1】如图，△≌△.问线段和相等吗？为什么？

【答案】证明：由△≌△，得，

则，即。

【变式2】如右图，，。

求证：∥

【答案】∴∥

2、如图，Δ≌Δ，∠30°，∠50°，2，求∠的度数及的长。思路点拨:由全等三角形性质可知：∠∠，，所以只需求∠的度数及的长即可。解析：在Δ中，∠180°-∠∠B，

又∠30°，∠50°，

所以∠100°.

又因为Δ≌Δ，

所以∠∠，〔全等三角形对应角相等，对应边相等〕。

所以∠100°2。总结升华：全等三角形的对应角相等，对应边相等。举一反三：

【变式1】如下图，Δ≌Δ，Δ≌Δ，∠90°.

求证：〔1〕⊥；〔2〕∥.

【答案】

(1〕因为Δ≌Δ，所以∠∠〔全等三角形的对应角相等〕.

因为∠∠180°，所以∠∠90°.

所以⊥.

(2〕因为Δ≌Δ,

所以∠∠〔全等三角形的对应角相等〕.因为∠∠180°，

所以∠∠90°.

因为∠90°,所以∠∠.

所以∥.类型二：全等三角形的证明

3、如图，＝，＝，∠＝∠，求证：△≌△．思路点拨:欲证△≌△，由可知已具备一边一角，由公理的条件判断还缺少这角的另一边，可通过＝而得解析：∵＝()

∴＝(等式性质)

即＝

在△及△中

∴△≌△()总结升华：利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：

(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形，

(2)证明这两个三角形全等；

(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．举一反三：

【变式1】如图，∥，＝，求证：∥

【答案】∵∥

∴∠3＝∠4

在△和△中

∴△≌△()

∴∠1＝∠2(全等三角形对应角相等)

∴∥(内错角相等两直线平行)

【变式2】如图，⊥于B，⊥于C，且＝，＝．

求证＝．

【答案】∵⊥()∴∠＝90°(垂直定义)

同理可证∠＝90°

∴∠＝∠

∵＝，＝

∴＝＝

＝

在△和△中

∴△≌△(S．A．S)

∴＝(全等三角形对应边相等)类型三：综合应用

4、如图，为Δ的中线。求证：2.思路点拨:要证2，由图想到：，，所以2，所以不能直接证出。由2想到构造一条线段等于2，即倍长中线。解析：延长至E，使，连接

因为为Δ的中线，

所以.

在Δ和Δ中，

所以Δ≌Δ().

所以.

在Δ中，，所以2.总结升华：通过构造三角形全等，将待求的线段放在同一个三角形中。举一反三：

【变式1】：如图，在Δ中，,∠90°,∠1=∠2，⊥的延长线于E，求证：2.

【答案】分别延长、交于F.

因为⊥,所以∠∠90°.

在Δ和Δ中，

所以Δ≌Δ().

所以.

又因为∠90°⊥.

所以∠∠90°，∠1+∠90°，∠1+∠90°.所以∠∠.

在Δ和Δ中，

所以Δ≌Δ()

所以.所以2.

5、如图，＝，＝，∠B＝∠D，

求证：(1)＝，(2)∥，(3)∠＝∠思路点拨:(1)直接通过△≌△而得，(2)先证明∠＝∠，(3)由(1)(2)可证明△≌△而得，总之，欲证两边(角)相等，找这两边(角)所在的两个三角形然后证明它们全等．解析：

(1)在△及△中

∴△≌△()

∴＝(全等三角形对应边相等)

(2)∵∠＝∠(全等三角形对应角相等)

∴∥(内错角相等，两直线平行)

(3)在△及△中∴△≌△()

∴∠＝∠(全等三角形对应角相等)总结升华：在复杂问题中，常将全等三角形的对应角(边)作为判定另一