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WavesIIPhysics2415Lecture26MichaelFowler,UVa
Today’sTopicsThewaveequationEnergyandpowerofwavesSuperpositionStandingwavesassumsoftravelingwavesFourierseries
HarmonicWavesAsimpleharmonicwavehassinusoidalform:Forastringalongthex-axis,thisislocaldisplacementiny-directionatsomeinstant.Forasoundwavetravelinginthex-direction,thisislocalx-displacementatsomeinstant.AmplitudeAWavelength?
TravelingWaveExperimentally,apulsetravelingdownastringundertensionmaintainsitsshape:Mathematically,thismeanstheperpendiculardisplacementystaysthesamefunctionofx,butwithanoriginmovingatvelocityv:vt
TravelingHarmonicWaveAsinewaveofwavelength?,amplitudeA,travelingatvelocityvhasdisplacement?0vtxy
HarmonicWaveNotationAsinewaveofwavelength?,amplitudeA,travelingatvelocityvhasdisplacementThisisusuallywritten,wherethe“wavenumber”and.Asthewaveispassing,asingleparticleofstringhassimpleharmonicmotionwithfrequencyωradians/sec,orf=ω/2?Hz.Notethatv=?f
TheWaveEquationThewaveequationisjustNewton’slawF=maappliedtoalittlebitofthevibratingstring:Thetinylengthofstringshowninredhaslengthm=?dx,isacceleratinginthey-directionwithacceleration,andtheforceFisthesumofthetensionsatthetwoendsofthebitofstring,whichdon’tcancelbecausethey’renotparallel.Animation!
TheWaveEquationThey-directioncomponentofthetensionTatthefrontendofthestringisjustTmultipliedbytheslope(forsmallamplitudes),.Atthebackend,Tpointsbackwards,sothedownwardcomponentis.Thetotaly-directionforceistherefore
WaveEquationWe’rereadytowriteF=maforthatbitofstring:m=?dx,.Puttingitalltogether:Sinceth
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