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7.连续型随机变量及其概率密度

【教学内容】：高等教育出版社浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编的《概率论与数理统计》

第二章第§4的连续型随机变量及概率密度

【教材分析】：本章第一节里我们已经研究了离散型随机变量，在那里随机变量的取值只有有限个或可列个，这在实际问题中有很大的局限性，本节要研究另一类十分重要而且常见的随机变量连续型随机变量。它是概率论的基本内容之一，学习本节内容要求学生掌握连续型随机变量、连续型随机变量的分布函数及其概率密度函数等基本概念及密度函数的性质，并会求一些连续型随机变量的密度函数，掌握几种常见的连续型随机变量的分布：正态分布，均匀分布，指数分布。

【学情分析】：

1、知识经验分析

学生已经学习了离散型随机变量及其分布律和随机变量的分布函数，会用分布函数解决一些实际问题。

2、学习能力分析

学生虽然具备一定的基础的知识和理论基础，但概念理解不透彻，解决问题的能力不高，方法应用不熟练，知识没有融会贯通。

【教学目标】：

1、知识与技能

掌握概率密度的概念和性质。掌握常见的分布。

2、过程与方法

由本节内容的特点，教学中采用启发式教学法，逐步理解概率密度的概念和性质。

3、情感态度与价值观

将生活中的随机现象与随机变量的分布相联系，会计算常见分布的的概率问题。

【教学重点、难点】：

重点：掌握连续型随机变量、连续型随机变量的分布函数及其概率密度函数等基本概念及密度函数的性质，并会求一些连续型随机变量的密度函数，掌握几种常见的连续型随机变量的分布：均匀分布，指数分布。

难点：连续型随机变量、连续型随机变量的分布函数及其概率密度函数等基本概念及密度函数的求法，掌握几种常见的连续型随机变量的分布：均匀分布，指数分布。

【教学方法】：讲授法启发式教学法

【教学课时】：1个课时

【教学过程】：

一、问题引入

类似于前面对离散型随机变量的讨论，对于连续型随机变量我们首先关心的是：如何描述它取值的概率规律？

引例：设有一质点等可能地落入区间内，

令为落入后这个质点到原点O的距离，求的分布函数。

解显然为随机变量，且可能取值充满了区间，

当时，

当时，

当时，

故的分布函数为

=

【设计意图】：由实际例子出发，引出概率密度函数的概念。

二、连续型随机变量及其概率密度

定义如果对于随机变量的分布函数，存在非负可积函数，使得对于任意实数有

则称为连续型随机变量，称为的概率密度函数，简称为概率密度或密度函数。

密度函数具有下述性质：

（1）非负性

（1）规范性

（3）对于任意实数

（4）

（5）若在点处连续，则有

(由式可知，对的连续点)

【设计意图】：给出还能密度的概念和性质，要求学生掌握其计算方法。

例1设随机变量具有概率密度

确定常数；(2)求的分布函数（3）求

解：

（3）

【设计意图】：通过这个例子，让学生掌握概率密度的性质以及概率密度和分布函数的关系。

三、常见连续型随机变量的分布

1、均匀分布

概率密度的图形

均匀分布的意义

分布函数

例2设电阻值是一个随机变量，均匀分布在900~1100．求的概率密度及落在950~1050的概率．

解：由题意，的概率密度为

故有

【设计意图】：通过这个例子，让学生将生活中的随机现象与随机变量的分布相联系，会计算常见分布的的概率问题。

?四、思考与提问：

离散型随机变量和连续型随机变量的区别？

五、内容小结

，

2.常见连续型随机变量的分布之一：均匀分布

六、课外作业：

P59：33，34，35，37

板书设计

连续型随机变量及其概率密度

一、问题引入

类似于前面对离散型随机变量的讨论，对于连续型随机变量我们首先关心的是：如何描述它取值的概率规律？

例1：设有一质点等可能地落入区间内，令为落入后这个质点到原点O的距离，求的分布函数。

二、连续型随机变量及其概率密度

定义如果对于随机变量的分布函数，存在非负可积函数，使得对于任意实数有

则称为连续型随机变量，称为的概率密度函数，简称为概率密度或密度函数。

密度函数具有下述性质：

（1）非负性

（2）规范性

（3）对于任意实数

（4）

（5）若在点处连续，则有

(由式可