福建省三明市永安九中、沙县区金沙高级中学2024-2025学年度高二上学期期中联考 数学试题【含解析】.docx

福建省三明市永安九中、沙县区金沙高级中学2024-2025学年度高二上学期期中联考数学试题【含解析】

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．椭圆的离心率为（????）

A． B． C． D．

2．已知圆的方程是，则圆心的坐标是（????）

A． B． C． D．

3．直线与圆的位置关系是（）

A．相交且过圆心 B．相切

C．相离 D．相交但不过圆心

4．已知空间向量满足，则向量的夹角为（）

A． B． C． D．

5．若空间中有三点，则点到平面的距离为（????）

A． B． C． D．

6．将直线绕点逆时针旋转后所得直线的方程为（???）

A． B．

C． D．

7．已知点为直线上任意一点，则的最小值是（????）

A． B．2 C． D．

8．已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且与交于两点，则的取值范围是（???）

A． B． C． D．

二、多选题

9．如图，已知正方体的棱长为分别为棱的中点，则下列结论正确的为（????）

A． B．

C． D．不是平面的一个法向量

10．若圆与圆相交，则k的取值可能为（????）

A． B．0 C．3 D．5

11．法国数学家蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，这个圆称为蒙日圆．若矩形的四边均与椭圆相切，则下列说法中正确的是（????）

A．椭圆的蒙日圆方程为

B．过直线上一点作椭圆的两条切线，切点分别为为直角时，直线的斜率为

C．若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则

D．若为正方形，则的边长为

三、填空题

12．已知定点，点为圆上的动点，则的中点的轨迹方程为.

13．设直线与直线的交点为P，则P到直线的距离的最大值为．

14．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，3)，圆.若圆C上存在点M，使，则实数a的取值范围是．

四、解答题

15．已知直线和点．

(1)求经过点，且与直线平行的直线的方程；

(2)求经过点，且与直线垂直的直线的方程；

(3)求点关于直线对称的点的坐标；

16．已知椭圆：的离心率为，焦距为4.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若直线与椭圆相切，且直线与直线：平行，求直线的斜截式方程.

17．如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，分别为，的中点.

(1)求点到平面的距离；

(2)求直线与平面所成角的余弦值.

18．已知直线：，：，且满足，垂足为C.

(1)求m的值及点C的坐标.

(2)设直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点B，求的外接圆方程.

19．阿基米德（公元前287年-公元前212年，古希腊）不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系中，椭圆：的面积为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形.过点的直线与椭圆C交于不同的两点A，B.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设椭圆C的左、右顶点分别为P，Q，直线PA与直线交于点F，试证明B，Q，F三点共线.

参考答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

A

A

A

D

D

C

C

A

BD

AC

题号

11

答案

ACD

1．A

【分析】求出和即可求出离心率.

【详解】因为，，

所以离心率为.

故选：A.

2．A

【分析】把圆的一般方程化为标准方程，可得圆心坐标.

【详解】圆的方程可化为，圆心的坐标是.

故选：A.

3．A

【分析】先求出圆的圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，与半径比较可得结论.

【详解】圆的圆心为，半径，

因为，所心直线过圆心，

所以直线与圆相交且过圆心.

故选：A.

4．D

【分析】由，求得，结合向量的夹角公式，即可求解.

【详解】由向量，

因为，可得，解得，

所以.

又因为，所以.

故选：D．

5．D

【分析】求出平面的法向量，然后利用空间点面距离公式可得答案.

【详解】，

设平面的一个法向量为，

由得，令得，

所以，

则点到平面的距离为.

故选：D.

6．C

【分析】分析可知，所得直线与直线垂直，可得出所求直线的斜率，再利用点斜式可得出所求直线的方程.

【详解】由题意可知，所得直线与直线垂直，即所求直线的斜率为，

因此，所求直线的方程为，即.

故选：C.

7．C

【分析】的几何意义为直线上的点到原点的距离，由点到直线的距离公式可得．

【详解】点为直线上任意一点，

又的几何意